МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕНТИЛЬНОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ В АВАРИЙНЫХ НЕПОЛНОФАЗНЫХ РЕЖИМАХ РАБОТЫ

MATHEMATICAL MODELING OF PERMANENT MAGNET MOTOR IN EMERGENCY OPEN-PHASE OPERATING MODES

Tinnikov Pavel Eduardovich

Postgraduate, National Research Tomsk Polytechnic University, Russia, Tomsk

Аннотация. Стандартные программные средства, как правило, не предусматривают возможность моделирования обрыва фазы, поскольку данная ситуация считается недопустимой для нормальной эксплуатации. Кроме того, при попытке имитации аварийных режимов часто возникают некорректные результаты, связанные с особенностями численных методов и ограничениями математических моделей. В связи с этим возникает необходимость в разработке специализированного математического описания вентильного электродвигателя, адаптированного для исследования неполнофазных режимов работы.

Abstract. Standard software tools generally do not include the ability to simulate phase failure, as this situation is considered unacceptable for normal operation. Furthermore, attempts to simulate emergency conditions often produce incorrect results due to the specifics of numerical methods and limitations of mathematical models. Therefore, there is a need to develop a specialized mathematical description of a permanent magnet synchronous motor adapted for studying open-phase operating modes.

Ключевые слова: математическая модель, вентильный электропривод, неполнофазный режим работы электродвигателя.

Keywords: mathematical model, permanent magnet synchronous motor, open-phase operation mode of an electric motor.

Введение

В современных производственных комплексах к электроприводам предъявляются повышенные требования по надежности и бесперебойности функционирования. Критически важным свойством становится отказоустойчивость — способность системы сохранять работоспособность при возникновении неисправностей отдельных элементов. Вентильные электродвигатели (ВД) находят широкое применение в ответственных областях промышленности и техники: аэрокосмическая отрасль, оборонно-промышленный комплекс, медицинское оборудование, объекты атомной энергетики, где отказ оборудования может привести к тяжелым последствиям [1, c. 20].

Разработка отказоустойчивых алгоритмов управления исполнительными механизмами требует создания специализированных математических моделей, позволяющих прогнозировать поведение электропривода в нештатных ситуациях. Математическое моделирование аварийных процессов является ключевым этапом проектирования систем управления, поскольку позволяет исследовать динамику электропривода без проведения натурных экспериментов, связанных с высокими рисками и материальными затратами [2, c. 72].

Цель и задачи исследования

Целью настоящей работы является разработка математической модели трехфазного вентильного электродвигателя, обеспечивающей исследование характеристик электропривода в аварийных режимах, в частности при обрыве фазы. Разработанная модель предназначена для использования в качестве основы при проектировании отказоустойчивых алгоритмов восстановления работоспособности вентильного электродвигателя.

Выбор подхода к математическому моделированию

Для адекватного описания поведения вентильного электродвигателя необходимо учитывать совокупность электромеханических и электромагнитных процессов. В существующей практике выделяют два основных подхода к моделированию ВД:

1) Представление ВД как обращённой машины постоянного тока — данный подход упрощает расчёты, однако не позволяет адекватно моделировать аварийные процессы, связанные с несимметрией фаз.

2) Рассмотрение ВД как синхронного двигателя с обратной связью по положению ротора — этот подход обладает большей универсальностью и позволяет исследовать процессы при неполнофазном питании.

В настоящем исследовании выбран второй подход, поскольку он предоставляет возможность анализа именно тех режимов, которые являются предметом исследования — неполнофазных и аварийных.

Синхронные машины традиционно описываются в системе координат dq, связанной с ротором. Однако данная система координат применима только при симметричном питающем напряжении и непригодна для моделирования неполнофазных режимов. В связи с этим в работе используется система неподвижных координат abc, связанная с обмотками статора.

В ходе разработки модели приняты следующие допущения: отсутствие высших гармоник в кривых токов и напряжений; потери в стали и механические потери пренебрежимо малы; воздушный зазор равномерен; механические связи между двигателем и нагрузкой абсолютно жёсткие; сопротивления и индуктивности всех трёхфазных обмоток статора эквивалентны [3, c.30].

Математическое описание модели

Напряжение, подводимое к обмоткам статора вентильного электродвигателя, уравновешивается падением напряжения на активном сопротивлении обмоток, ЭДС самоиндукции, взаимоиндукции и противо-ЭДС, наводимой магнитным полем ротора. В матричной форме уравнение равновесия напряжений для трехфазной системы, соединенной в звезду, имеет вид:

где:

 — матрица фазных напряжений, подаваемых на обмотки статора;

— матрица активных сопротивлений обмоток статора;

 — матрица токов, протекающих в обмотках статора;

 — матрица индуктивностей обмоток статора;

 — матрица противо-ЭДС, наводимой в обмотках статора;

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, изменение магнитного потока во времени индуцирует в замкнутом контуре электродвижущую силу:

Противо-ЭДС, наводимая вращающимися магнитами ротора в обмотках статора, может быть выражена следующей формулой:

где:

 — амплитуда потокосцепления, создаваемого постоянными магнитами ротора;

 — механическая угловая скорость вращения ротора;

 — число пар полюсов электродвигателя;

 — функция формы противо-ЭДС, зависящая от положения ротора.

Форма волны противо-ЭДС в вентильном электродвигателе имеет трапецеидальную форму. Функция  может быть представлена следующим выражением:

Функции для фаз B и C имеют аналогичный вид со сдвигом на  рад:

Для имитации обрыва фазы статора в уравнение равновесия напряжений вводится матрица отказов , позволяющая переходить в неполнофазный режим работы:

где:

 — матрица активных сопротивлений статора с учетом неполнофазного режима;

 — единичная матрица;

 — коэффициент, учитывающий бесконечное сопротивление;

 — матрица отказов в обмотках статора;

— матрица активных сопротивлений обмоток статора;

Электромагнитный момент вентильного электродвигателя создается взаимодействием токов в обмотках статора и магнитного поля постоянных магнитов ротора. Момент пропорционален сумме моментов, создаваемых каждой фазной обмоткой.

Пренебрегая потерями при преобразовании электрической энергии в механическую, выражение для электромагнитного момента имеет вид:

где:

 - электромагнитный момент электродвигателя;

 - угловая скорость вращения ротора электродвигателя.

Подставляя значения фазных ЭДС из (2), получаем окончательное выражение для электромагнитного момента:

Электромеханическое движение вентильного электропривода описывается уравнением баланса моментов:

где:

 — момент инерции ротора электродвигателя и приведенной нагрузки;

 — момент сопротивления на валу.

Электрический угол поворота ротора связан с механическим углом через число пар полюсов:

Сводя все полученные выражения в единую систему, получаем полную математическую модель трехфазного вентильного электродвигателя для исследования неполнофазных режимов [4, c. 330]:

Реализация модели в Matlab Simulink

На основе разработанного математического описания в среде Matlab Simulink создана имитационная модель вентильного электродвигателя. В качестве нагрузки использован двигатель постоянного тока, ротор которого механически соединён с ротором моделируемого ВД. Разработанная модель обеспечивает возможность исследования работы электродвигателя в различных режимах, включая аварийные ситуации, связанные с обрывом фазы [5, c. 86].

Рисунок 1. Имитационная модель вентильного электродвигателя в Matlab Simulink

Результаты моделирования

В ходе вычислительных экспериментов получены графики токов в обмотках статора и скорости вращения ротора для нормального и аварийного режимов работы.

Нормальный режим работы

В нормальном доаварийном режиме: амплитуда тока в обмотках статора составляет 1,037 А; трёхфазные токи симметричны и сдвинуты относительно друг друга на  рад; скорость вращения ротора постоянна и равна 118,7 рад/с.

Аварийный режим (обрыв фазы C)

В момент времени t=1с происходит обрыв фазы C, что приводит к следующим изменениям характеристик: амплитуда тока в обмотках статора возрастает на 15,13% и достигает 1,194 А; скорость вращения ротора приобретает колебательный характер, что обусловлено формированием эллиптического вращающегося поля в воздушном зазоре; среднее значение скорости вращения ротора снижается до 88,15 рад/с, что соответствует падению на 25,73% по сравнению с нормальным режимом.

Рисунок 2. Временные диаграммы при обрыве обмотки статора ВД: (а) – ток статора, (б) – угловая скорость

Выводы

1. Разработана математическая модель вентильного электродвигателя в трехфазной системе координат abc, включающая матрицу отказов для моделирования неполнофазных режимов. Данная модель позволяет исследовать электромагнитные и электромеханические процессы в вентильном электродвигателе при обрыве фазы и других аварийных ситуациях.

2. На основе математической модели создана имитационная модель в среде Matlab Simulink, которая обеспечивает возможность анализа работы электродвигателя в различных режимах, включая аварийные. Использование имитационной модели позволяет проводить испытания алгоритмов восстановления работоспособности электропривода после возникновения неисправностей.

3. Проведенные вычислительные эксперименты подтвердили адекватность разработанной модели: полученные результаты качественно соответствуют физическим процессам, происходящим в вентильном электродвигателе при обрыве фазы.

4. Разработанная модель может служить основой для создания отказоустойчивых систем управления вентильными электроприводами, работающими в ответственных областях применения.