Проблема математического моделирования переходных процессов в электрических цепях при действии периодических несинусоидальных токов

The problem of mathematical modeling of transients in electrical circuits under the effect of periodic non-sinusoidal current

Smantser Dmitry

master student, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics, RB, Minsk

Аннотация. В статье рассмотрена проблема математического моделирования переходных процессов в электрических цепях при действии периодического несинусоидального тока. Для решения проблемы предложен метод переменных состояния в сочетании с языком программирования Python. Разработанная методика моделирования учитывает все особенности действующих в цепи электрических величин и в тоже время является наиболее просто программно реализуемой.

Abstract. The article discusses the problem of mathematical modeling of transients in electrical circuits under the effect of periodic non-sinusoidal current. To solve the problem, a method of state variables in combination with the Python programming language is proposed. The developed modeling technique takes into account all the features of the electrical quantities acting in the circuit and at the same time is the most simply software implemented.

Ключевые слова: моделирование; коммутация; переходный процесс; ряд Фурье; переменные состояния; нормальная форма Коши; Python.

Keywords: modeling; switching; transition process; Fourier series; state variables; normal form of Cauchy; Python.

Математическое моделирование является наи­более удобным аппаратом для исследования физических процессов в электрических цепях и энергетических системах, так как значительно сокращается время и рас­ходы на проведение экспериментальных исследований и при этом исследователи имеют возможность получать достаточно полный объем достоверной информации.

В настоящее время при математическом моделировании переходных процессов в электротехнике учёными ведутся исследования в двух направлениях: моделирование переходных процессов при решении конкретных прикладных или исследовательских задач, а также разработка или усовершенствование методов математического моделирования для упрощения сложных вычислений.

Однако широко применяемые методики расчета переходных процессов в электрических цепях при коммутации решают узкие практические задачи и их применение невозможно для математического моделирования переходных процессов в сложных электрических цепях при действии периодических несинусоидальных токов.

Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называются токи и напряжения, которые изменяются во времени периодически, но не описываются синусоидальной функцией.

Для описания периодических несинусоидальных величин применяется разложение в ряд Фурье. Встречающиеся в электротехнике кривые, которые можно в общем случае описать разложением в ряд Фурье:

1. постоянный ток – постоянная составляющая ряда при отсутствии гармоник (частный случай);
2. синусоидальный ток (переменный ток промышленного назначения) – основная гармоника (гармоника первого порядка) при отсутствии постоянной составляющей и гармоник высших порядков (частный случай);
3. кривые геометрически правильной формы, например, трапецеидальной, треугольной, прямоугольной и т.п (разложение их в ряд Фурье получено и описано в соответствующей литературе);
4. кривые произвольной (геометрически неправильной) формы. Чаще всего они заданы в виде графика и их разложение в ряд Фурье производится графически (графо-аналитически).

Для точности расчетов электрических цепей, как в переходном режиме, так и в установившемся, важно, чтобы разложение в ряд Фурье включало как можно больше слагаемых, т.е. гармоник. Однако из-за того, что расчёты таких цепей производятся методом наложения (суперпозиции), для большого числа гармоник аналитический расчёт произвести затруднительно.

Расчёт установившихся режимов электрических цепей при действии периодических несинусоидальных токов и напряжений чаще всего производится методом наложения (суперпозиции). Согласно принципу суперпозиции, мгновенное значение тока любой ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник; мгновенное значение напряжения на любом участке схемы электрической цепи равно сумме мгновенных значений напряжений отдельных гармоник на этом участке. Таким образом, расчёт производят для каждой гармоники в отдельности и полученные результаты суммируют.

Методы анализа и расчёта переходных процессов в электрических цепях, которые в настоящее время применяются специалистами, – это классический метод, операторный метод, метод расчёта с помощью интеграла Дюамеля, спектральный метод, метод переменных состояния.

Классический и операторный применяются для решения задач любой сложности, но классический более физически прозрачен, чем операторный, в то время как операторный значительно упрощает расчёты. Применение обоих методов зависит от квалификации пользователя и оба метода тяжело поддаются использованию при высоких порядках уравнений. Метод на основе интеграла Дюамеля применяется при сложной функции напряжения во времени, но метод громоздок при вычислении для уравнений высоких степеней. В этом случае целесообразно использовать спектральный метод, но он имеет ряд ограничений в виде требований к точности анализа и моделирования переходных процессов.

Переходя к рассмотрению проблемы математического моделирования переходных процессов при действии периодических несинусоидальных токов, можно сделать вывод, что при использовании, например, классического метода, когда необходимо найти начальные условия или рассчитать докоммутационный режим сложной цепи, расчеты становятся значительно громоздкими при наличии большого числа гармоник.

Существует приём замены несинусоидальных токов и напряжений без постоянных составляющих эквивалентными синусоидальными с таким же действующим значением. Приём эквивалентной замены позволяет обойтись без громоздких расчётов. Однако такой приём хоть и облегчает расчёты, но является упрощённым и в итоге приводит к погрешностям, которые могут быть значительными. В то же время при использовании метода переменных состояния эти недостатки отсутствуют. Кроме этого, разрабатываемая методика применения метода переменных состояния позволяет моделировать переходные процессы для любой формы периодической кривой как для несинусоидального тока, т.к. разложение в ряд Фурье можно рассматривать как обобщённую формулу такой величины.

Кроме основных методов существует также ряд современных разработок методов для анализа и моделирования переходных процессов, которые являются вариациями существующих методов в сочетании с численными методами расчёта. Практически все применяемые методы нуждаются в адаптации и усовершенствовании в целях упрощения или оптимизации вычислительных процессов для математического моделирования переходных процессов в сложных электрических цепях при действии периодических несинусоидальных токов.

При построении математических моделей переходных процессов электрических цепей в основном применяются методы численного анализа. Методы численного интегрирования можно разделить на две группы: одношаговые и многошаговые. Из одношаговых наибольшее распространение получили такие методы, как метод Эйлера, метод Эйлера-Коши, метод Рунге-Кутта, метод Рунге-Кутта-Гила, из многошаговых - метод Адамса-Штермера, метод Милна, метод Хэмминга, метод Релстона. Необходимость и возможность применения любого из методов численного интегрирования определяется особенностями решаемой задачи и требуемой точностью вычислений в соответствии с поставленной задачей.

Исходя из вышеизложенного можно предложить для моделирования переходных процессов в сложных электрических цепях при действии несинусоидальных периодических токов для использования метод переменных состояния для расчёта и установившегося режима до коммутации, и  переходного режима после коммутации, и установившегося режима после завершения переходного процесса. Кроме этого, на основании сравнительного анализа существующих методов моделирования переходных процессов в электрических цепях целесообразно использовать для моделирования переходных процессов в сложных электрических цепях метод переменных состояния как наиболее просто поддающийся формализации и программной реализации и являющийся не менее точным, чем другие методы.

Метод переменных состояния - это способ определения динамического состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме Коши. Метод переменных состояния (пространства состояний) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (нормальной формы).

Уравнениями состояния электрической цепи называют любую систему уравнений, которая описывает состояние (режим) данной цепи. Например, система уравнений Кирхгофа является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена. Применительно к электрическим цепям под переменными состояниями понимают обычно величины, определяющие энергетическое состояние цепи, т.е. токи через индуктивности и напряжения на ёмкостях (независимые начальные условия). Значения этих величин предполагаем известными к началу процесса, т.е. они находятся из схемы электрической цепи в докоммутационном установившемся режиме.

Уравнения состояния формы Коши для схемы электрической цепи могут быть получены из системы уравнений Кирхгофа путем их преобразования. Для этой цели: а) из системы уравнений Кирхгофа методом подстановки исключаются ''лишние'' переменные, имеющие зависимые начальные условия, и оставляются переменные i_L(t) и u_C(t), которые не изменяются скачком и имеют независимые начальные условия i_L(0) и u_C(0); б) оставшиеся уравнения решаются относительно производных и приводятся к форме Коши.

При математическом моделировании переходных процессов в сложных электрических цепях при действии несинусоидальных величии можно выделить две основные проблемы: нахождение начальных условий до коммутации и формирование и решение уравнений состояния.

Если рассматривать установившийся режим как продолжение переходного, то установившийся режим целесообразно рассчитывать численными методами путём расчёта переходного процесса до полного его завершения. Начальные условия для расчёта переходного процесса в послекоммутационной схеме можно брать в любой момент времени после завершения переходного процесса в докоммутационной схеме. Такие начальные условия будут адекватными (хоть и разными для различных моментов времени) и справедливыми, т.к. в реальной ситуации мы не знаем в какой момент времени замкнётся ключ и не можем это предугадать.

Рассматривается схема после замыкания цепи и формируются уравнения состояния. В настоящее время разработаны эффективные алгоритмы формирования уравнений состояния цепей любой сложности. Однако в современных программах компьютерного моделирования электрических цепей такие алгоритмы не используются.

Наиболее целесообразным является алгоритм составления уравнений состояния, основанный на сведении послекоммутационной схемы к резистивной с источниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивности L в послекоммутационной схеме заменяются на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в исходной схеме, а ёмкости С заменяются на источники ЭДС, причём в соответствии с теоремой компенсации ЭДС этих источников должны быть направлены встречно токам в ветвях с емкостью, т.е. встречно напряжениям на ёмкости. В результате схема электрической цепи окажется без индуктивностей и ёмкостей (чисто резистивной), но с дополнительными источниками тока и ЭДС.

К достоинствам метода переменных состояния можно отнести:

- получение математической модели электрической цепи в нормальной форме Коши, т.е. разрешённой относительно производных. В результате расчетов получаются дифференциальные уравнения первого порядка, которые всегда легко решаются стандартными методами;

 - метод является универсальным методом решения систем дифференциальных уравнений. Поэтому область его применения не ограничивается только лишь электрическими цепями, что дает возможность применять метод в различных областях техники.

Относительным недостатком метода является сравнительно сложная реализация алгоритмов формирования математической модели цепи. Данный недостаток перестаёт быть недостатком при использовании необходимых программных средств для моделирования переходных процессов и достаточной квалификации программиста, создающего программный продукт.

Применяя метод переменных состояния, можно предложить разработанную методику математического моделирования переходных процессов при действии периодических несинусоидальных электрических величин, которая включает следующую последовательность действий:

1. Рассматривается схема до коммутации.

- выделяются в схеме электрической цепи индуктивные и ёмкостные элементы.

- заменяются ёмкостные элементы источниками напряжения и индуктивные источниками тока.

- для полученной резистивной схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа.

- система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши методом исключения переменных, далее составляются матрицы коэффициентов.

- начальные условия выбираются нулевые, т.к. нет необходимости в получении корректного переходного режима.

- выбирается метод интегрирования, применимый для программной реализации.

- моделируется установившийся режим путём расчёта переходного процесса до полного его завершения.

2. Принимаются независимые начальные условия i_L(0) и u_C(0) в любой момент времени после завершения переходного процесса по пункту 1.

3. Рассматривается схему после коммутации:

- выполняются все те же шаги, что и в п.1, начальные условия выбираются из пункта 2 для момента полного завершения переходного процесса.

4. Выходная функцию получается в виде графика x=f(t) или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

Для программной реализации моделирования переходных процессов можно предложить объектно-ориентированный язык программирования Python, т.к. он упрощает анализ переходных процессов в электрических цепях, делает его наглядным.

Язык Python рекомендуется пользователям, которые используют вычислительную технику и программирование в своей работе, так как является простым и гибким инструментом. 

С помощью хорошо развитых в библиотеке SciPy численных методов выполнялось моделирования переходных процессов при коммутации в электрических цепях. Библиотека SciPy содержит высококачественные научные инструменты для языка программирования Python, содержит модули для оптимизации, интегрирования, специальных функций, обработки сигналов, обработки изображений, генетических алгоритмов, решения обыкновенных дифференциальных уравнений и других задач, решаемых в науке и при инженерной разработке.

Разработанная методика была применена на конкретном примере электрической цепи. Электрическая цепь сложная, разветвлённая, содержащая шесть ветвей, резистивные элементы, индуктивные и ёмкостные элементы, источники ЭДС и тока, которые генерировали периодические несинусоидальные кривые правильной геометрической формы.

Результаты эксперимента показали, что абсолютная и относительная погрешности являются допустимыми при любом количестве гармоник.

Относительная погрешность параметров электрической цепи во всех экспериментах была менее допустимого значения и с увеличением гармоник стремилась к нулю.

В результате проведенной работы можно утверждать, что предложенная методика моделирования переходных процессов методом переменных состояния учитывает все особенности действующих в сложной электрической цепи периодических несинусоидальных величин и одновременно является наиболее просто программно реализуемой, а для программной реализации наиболее эффективным является применение инструментов SciPy языка программирования Python.