Анализ эквиаффинных и аффинных преобразований пространства

Аннотация. Рассматриваются эквиаффинные и аффинные преобразования аффинного пространства. Производится сравнительный анализ их использования к преобразованиям систем отсчета в механике. Использование концепции базисного и координатного многообразия упрощают формализм рассуждений и обеспечивают  инвариантность результатов.

Abstract. Equiaffine and affine transformations of an affine space are considered. A comparative analysis of their use for transformations of reference systems in mechanics is made. Using the concept of a basis and coordinate manifold simplifies the formalism of reasoning and ensures invariance of results.

Ключевые слова: эквиаффинные и аффинные преобразования; аффинное пространство; координатный метод; координатное пространство; изоморфизм.

Keywords: equiaffine and affine transformations; affine space; coordinate method; coordinate space; isomorphism.

Векторное исчисление есть пример прямого геометрического исчисления: его объекты и операции носят непосредственно геометрический характер [1].

Не меньшую роль в геометрии играет координатный метод, при котором геометрические образы изучаются методами алгебры и анализа. Координатный метод описывает геометрические образы посредством использования систем координат. Выбор системы координат неоднозначен и определяется из соображений максимальной простоты модели объекта, построенной в ней. Вместе с тем, между координатными системами, выражающими модели одного и того же геометрического объекта, должно существовать некоторое отношение эквивалентности, выражающее их свойство моделировать один и тот же объект. Это отношение эквивалентности можно рассматривать как класс преобразований системами координат инвариантных относительно свойства моделируемого объекта. При этом возможны две интерпретации преобразований [2].

Активная точка зрения (alibi), – преобразование координатных систем описывает некоторое отображение, при котором одному геометрическому объекту ставится в соответствие другой математический объект. В частности одной точке – новая точка.

Пассивная точка зрения (alias), – преобразование координат вводит новое описание одного и того же объекта. В частности каждой точке – её новые координаты.

Целью данной работы является сравнительный анализ обоих интерпретаций в рамках аффинного пространства.

1. Аффинное пространство

Символом  будем обозначать абстрактное множество с элементами – точками. Аффинное пространство [1] , есть точечное множество  с присоединенным к нему векторным пространством размерности , т.е.  . При этом предполагается выполнение аксиом:

1. Каждой упорядоченной паре точек множества  ставится в соответствие один и только один вектор пространства .

2. Каждой точке  и каждому вектору отвечает одна и только одна точка B, такая что .

3. Сложению векторов соответствует сложение упорядоченных пар по правилу параллелограмма .

Аффинное пространство в форме точечно-векторной конструкции   позволяет осуществить геометрическое исчисление, в основе которого лежат понятия – точка и прямая линия. А именно, всякое исчисление, проводимое на векторах, может быть истолковано как  геометрическое построение.

Для того чтобы изучать геометрические образы методами алгебры (аналитическая геометрия) и анализа (дифференциальная), в геометрии используется координатный метод.

Координатное пространство – одна из основных математических моделей, имеющих многочисленное применение, в частности, при  координатном  представлении элементов векторного пространства и точечного множества.

Координатное пространство  – декартова степень  множества действительных чисел , снабженная структурой линейного топологического пространства [1].

Взаимно однозначное отображение (изоморфизм) точечного множества  в координатное пространство , т.е.  реализует геометрическое координатное пространство. Элементы координатного пространства записываются в форме  упорядоченных наборов .

2. Базисное многообразие

Пусть к аффинному пространству присоединено векторное пространство . Это означает, что в нем существует хотя бы один набор линейно независимых векторов , образующих базис пространства.

Пусть  – множество матриц с определителем, неравным нулю . Рассмотрим множество преобразований

.                      (1)

В выражении (1) мы использовали тензорную запись, подразумевая суммирование по буквенному индексу, если он записан дважды: один раз – вверху, другой – внизу. Эту запись мы будем использовать в дальнейшем, не расписывая выражение в компонентах.

Базисное преобразование (1) образует мультипликативную, однотранзитивную и свободную группу преобразований [1] базисов . Отсюда следует, что базис (1) порождает базисное многообразие – совокупность базисов, между которыми установлено взаимно однозначное соответствие или изоморфизм. Базисное многообразие будем обозначать структурой , где  – базисное множество,  – действующая на нем группа преобразований.  

Пусть  – аффинное пространство. Определим на  базисное многообразие . Фиксируя произвольную точку  и какой-либо базис многообразия , построим конструкцию , которая называется репером аффинного пространства в точке .

Поскольку базис построенного нами репера принадлежит многообразию, то очевидным обобщением понятия базис является реперное многообразие в точке  аффинного пространства, т.е. конструкция .

Ясно, что реперное многообразие можно отнести к любой точке аффинного пространства. Следовательно, между репером, отнесенным к двум разным точкам, должна существовать связь в форме некоторого изоморфизма. Эту связь можно установить, используя аксиомы линейного пространства. Действительно, пусть  – точки приложения репера . Тогда определено преобразование , где . Таким образом, определена группа параллельных переносов, преобразующих реперы, приложенные к разным точкам аффинного пространства.

Преобразование аффинных реперов в себя называется эквиаффинными преобразованиями, а группа этих преобразований – квазиаффинной группой.  Подчеркнем, что квазиаффинная группа преобразований действует не на самом точечном множестве аффинного пространства, а на многообразии реперов.

3. Система координат

Теперь мы можем определить аффинную систему координат. Пусть  – произвольный репер аффинного пространства,  – координатное пространство. Определим операцию свертывания базисных элементов с элементами координатного пространства по формуле

.                                     (2)

Структура  определяет аффинную координатную систему с началом в точке  аффинного пространства. Обобщая структуру координатной системы  на базисное многообразие , получим многообразие центроаффинных координатных систем  – систем отнесенных к точке .

Действие группы  на множестве базисов индуцирует группу преобразований  координатного пространства   , или  . Обратное преобразование будет

.                                                     (3)

Любые две аффинные системы координат многообразия связаны точечным преобразованием (3). Преобразование координатных систем, индуцированное квазиаффинным преобразованием реперов, не затрагивает геометрических объектов, которые в них рассматриваются.  Поэтому их можно рассматривать как описания одного и того же объекта в различных системах координат (системах отсчета) – точка зрения alias.

4. Аффинные преобразования

При квазиаффинных преобразованиях первичными являются преобразования реперов, которые индуцируют координатные преобразования. В отличие от них в аффинных преобразованиях первичными являются преобразования координатного пространства .

Пусть  – аффинное пространство,  – фиксированная система координат на ней. Используя тот факт, что координатное пространство линейно, определим точечное преобразование

,                                                    (4)

где  – фиксированная матрица с определителем, неравным нулю .

Применив преобразование (4) ко всем точкам координатного пространства, мы получим новое координатное пространство .

Важно, что преобразование (4) затрагивает все точки аффинного пространства, в том числе точки , которые определяют базисные элементы репера . Следовательно, преобразование (4) индуцирует преобразование векторов присоединенного пространства, вида .  В том числе преобразуются базисные векторы репера

.                                                      (5)

Таким образом, координатное преобразование (4) индуцирует преобразование (5) такое, что координаты каждой точки остаются неизменными. Это означает, что координатное преобразование (4) преобразует изоморфным образом аффинное пространство  с репером  в аффинное пространство  с репером . Преобразование (5) называется аффинным преобразованием.

Хотя в аффинном преобразовании первичным является координатное преобразование, в практическом плане оказывается удобным определять его на основе задания реперного преобразования (5). В этой связи заметим, что реперное преобразование (5) взаимно однозначно соответствует координатному преобразованию (4), если оно оставляет неизменными координаты векторов точек аффинного пространства. Преобразования (4), (5) образуют группу аффинных преобразований [1] или аффинную группу. Поскольку аффинное преобразование преобразует пространство вместе с геометрическими объектами, заданными в нем, то и сам объект переходит в новый объект. Иными словами, реализуется концепция alibi.

5. Пример квазиаффинных и аффинных преобразований

В качестве примера использования обоих концепций рассмотрим движение (вращение) Земли вокруг своей оси. Помещая начало отсчета в геометрический центр планеты, возьмем репер какой-либо фиксированной ориентации и построим на нем систему координат. Каждой точке Земли, как геометрическому объекту, будут соответствовать её координаты в этой системе.

Концепция alias реализует выбор нового репера и построение новой системы координат с иной ориентацией и, вообще говоря, с иным масштабом. При этом, поскольку положение Земли как геометрического объекта остается неизменным, в новой системе координат координаты точек будут иными. Вращение Земли будет задаваться координатными функциями времени. При этом базисные векторы репера остаются неизменными. Система отсчета остается неподвижной.

Концепция alibi реализует построение нового пространства, изоморфного старому. В нем будет новый репер и новая система координат, но вследствие изоморфизма все координаты точек геометрического объекта – Земли, останутся прежними. Вращение Земли в этом случае, будет задаваться базисными векторами репера как функциями времени. Координаты же точек Земли, как геометрического объекта будут оставаться неизменными. Система отсчета жестко скреплена с планетой и вращается вместе с ним.

Заключение

Мы рассмотрели структуру аффинных и квазиаффинных преобразований аффинного пространства и осуществили их сравнительный анализ. Сформулируем основные выводы.

Эквиаффинные преобразования обеспечивают изоморфизм выбора различных систем координат, в которых рассматривается геометрический объект. Аффинные преобразования обеспечиваю изоморфизм различных моделей одного и того же геометрического объекта. Основу эквиаффинных преобразований составляет реперное многообразие, в то время как основу аффинного преобразования составляет координатное многообразие.