МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В УПРАВЛЕНИИ ЗАПАСАМИ ТОРГОВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Все более широкое применение в менеджменте организаций находят теория и методы экономико-математического моделирования, позволяющие формировать систему целей, строить текущие и перспективные планы, оптимизировать обеспечение этих планов необходимыми ресурсами, принимать и реализовывать наиболее эффективные управленческие решения.

В условиях формирующейся рыночной экономики особое внимание исследователей (как математиков, так и экономистов) привлекает разработка методов совершенствования деятельности торговых предприятий. В настоящее время доля торговли в ВВП страны составляет 18—20 % (данные Росстата 2006—2010 гг.). В торговле работает около 12 млн. человек, это примерно 20 % от общего количества занятых в экономике. Число предприятий торговли в 2010 г. составило примерно 1 млн. 790 тыс., то есть 37,1 % всех предприятий России.

Торговое предприятие — независимый хозяйствующий субъект, обладающий правовым статусом и осуществляющий закупку, хранение, реализацию товаров с целью получения прибыли и удовлетворения потребностей рынка. Организация эффективной деятельности торгового предприятия способствует созданию устойчивых связей между экономическими контрагентами по всей цепочке движения товара — от производителя до конечного потребителя. Однако анализ работ в области экономико-математического моделирования показывает, что многие проблемы, относящиеся к деятельности торговых предприятий, остаются малоизученными. Большинство математических моделей, разработанных в сфере коммерческой деятельности, относятся к производственным организациям. При этом вопросы оптимизации рассматриваются не в комплексе, а по отдельным этапам и сферам деятельности: оптимизация инвестиционной политики, управление оборотным капиталом, планирование производственной мощности предприятия, управление запасами, эффективное использование трудовых ресурсов, составление оптимальных маршрутов, расписаний и др.

Недостаточная разработанность проблемы выявления совокупности экономико-математических методов оптимизации деятельности торгового предприятия в условиях рыночной экономики определяет актуальность темы исследования. Решение этой проблемы составляет цель исследования.

Объектом исследования выступает процесс управления экономической деятельностью торгового предприятия.

Предмет исследования — модели и методы линейного и динамического программирования как инструментальные средства оптимизации деятельности торгового предприятия.

Экспериментальной базой исследования является торговое предприятие ПО «Чернавское» (Липецкая область, с. Измалково), основной вид деятельности которого — розничная торговля продовольственными и непродовольственными товарами в специализированных магазинах, а дополнительный вид — деятельность ресторанов и кафе. Кроме того, предприятие занимается собственным производством полуфабрикатов, реализуемых через торговую сеть. Выбор предприятия потребкооперации обусловлен объективной необходимостью усиления роли этого субъекта в создании социально-ориентированной экономики, функционирование которой направлено на удовлетворение потребностей человека, на повышение жизненного уровня населения страны.

В данной статье рассматривается математический подход к решению одной из задач управления торговым предприятием — задаче оптимального управления запасами. Эта задача состоит в определении оптимального плана производства, обеспечивающего заданный спрос на продукцию при минимизации затрат на ее производство и хранение. В качестве эффективного средства определения оптимальной стратегии управления запасами на торговом предприятии мы рассматриваем метод динамического программирования.

Постановка задачи. Рассмотрим деятельность предприятия торговли ПО «Чернавское» по производству полуфабрикатов (замороженных пельменей) в течение N календарных этапов планирования (месяцев). Каждый n-й этап, n = 1,¯N, характеризуется следующими параметрами:

i_n‒1 — величина запаса, оставшаяся на предприятии после окончания предыдущего n‒1-го этапа;

х_n — объем производства предприятия на n-м этапе;

d_{n —} величина спроса на продукцию предприятия на n-м этапе.

Известна функция затрат с_п на п-м этапе функционирования предприятия, зависящая от объема х_n производства и величины запасов i_n-₁, которые должны храниться на складе в течение n-го периода. Необходимо определить объем производства для каждого этапа планирования, при котором суммарные затраты, связанные с производством продукции и ее хранением, были бы минимальны, и в каждом периоде выполнялось ограничение на спрос про­дукции со стороны потребителей.

Критерий оптимальности представляется в виде:

→ min.

Ограничения:

1)  удовлетворение спроса потребителей на продукцию в n-м периоде

d_n ≤ i_n-1 + x_n, n = 1,¯N;

2)  объем запаса в конце n-го периода

i_n =i_n-1 + x_n - d_n , n= 1_,¯N, i_n =0,¯i_max, х_n = 0,¯х_тах.

Функциональное уравнение Беллмана имеет вид:

f_n (i_n)= min_xn (f_n-1 (i_n‒1) + с_n(х_п, i_n‒1)).

Рассмотрим решение уравнения Беллмана для случая, когда

c_n(x_n, i_n‒1)=c_n(x_n)+h∙i_n‒1,

где: с_n(х_n) — затраты на производство продукции на n-м этапе в объеме х_n,

h∙i_n‒1 — затраты на хранение продукции на n-м этапе, h — коэффициент;

i₀ — начальный запас продукции;

c₀(i₀) — затраты на его создание;

h∙i₀ — затраты на его хранение.

Решим рассматриваемую задачу для следующих исходных данных:

·    количество интервалов планирования (месяцев) N=3;

·   величина спроса на полуфабрикаты (замороженные пельмени) постоянна для всех этапов: d₁ =d₂ = d₃ = 400 кг/мес.;

·     затраты на формирование начального запаса с₀(x₀) = 90 · i₀; (коэффициент 90 складывается из 70 руб./кг — себестоимость одного килограмма пельменей — и 20 руб./ кг идут на заработную плату работников;

·     затраты на производство и хранение продукции с_п (х_п,i_n‒1) = 12000+70 · х_n +10 ∙ i_n-1; (здесь 12000 руб. — месячный расход на заработную плату, 70 руб./кг — себестоимость одного килограмма пельменей, 10 руб./кг — стоимость хранения 1 кг продукции в месяц, т. е. затраты на оплату электроэнергии, потребляемой морозильными камерами, а также на текущий ремонт оборудования);

·     ограничение на производственные мощности х_тax = 600 кг/мес;

·     ограничение на предельный уровень запасов i_тах= 400 кг/мес.

Шаг 1. Решение уравнения Беллмана производится в соответствии с алгоритмом прямой прогонки: f₁(i₁) = min(c₁(x₁)+c₀(i₀)+h∙i₀),

i₁= x₁+ i₀‒d₁.

В полученном уравнении все величины являются известными. Для реше­ния этого уравнения формируется таблица 1, в которой столбцы соответствуют величине начального запаса, строки — объему производства на первом этапе х₁. Каждая клетка таблицы делится на две части: в нижней части записываются значения состояния в конце первого этапа (значения для переменной i₁): i₁=i₀+x₁ – d₁. Если i₁ отрицательно, то такие состояния являются недопустимыми и исклю­чаются из рассмотрения вычеркиванием. В частности, для положительного спроса d₁ > 0 клетка с х₁=0 и i₀=0 является недопустимой. Клетки, соответствующие недопустимым состояниям, отмечаются символом *. В верхней части каждой из клеток записывается значение функции f* (i₁) = c₁(x₁) + c₀(i₀) + h∙i₀.

В качестве примера приведем вычисление ряда функций f₁*(i₁):

f₁* (0) = c₁(0) + с₀(400) + 10∙400 = 0 + 90∙400 + 4000 = 40000,

f₁* (0) = c₁(100) + с₀(300) + 10∙300 = 12000 + 70∙100 + 90∙300 + 3000 = 49000,

f₁*(100) = c₁(100)+с₀(400) +10∙400 =12000 + 70∙100 + 90∙400 + 4000 = 59000,

f₁*(0) = c₁ (200) + с₀(200) + 10∙200= 12000 + 70∙200 + 90∙200 + 2000 = 46000,

f₁* (100) = c₁(200) +с₀(300) +10∙300 =12000 +70∙200 + 90∙300 +3000 = 56000,

f₁*(200) = c₁(200) + с₀(400) +10∙400 = 12000+70∙200 + 90∙400 +4000 = 66000.

Таблица 1.

Промежуточная таблица для шага 1 

Среди допустимых клеток находятся клетки с одинаковыми значениями состояний, и в качестве оптимальной выбирается клетка, для которой f* (i₁) принимает минимальное значение, т. е. f(i₁) = min{f*(i₁)}. Для каждого состояния фиксируется оптимальный объем производства х₁. Результаты представляются в окончательной таблице 2 для первого шага: в первом столбце приводится перечень состояний, во втором — оптимальный объем производства для каждого из состояний; в третьем — оптимальные затраты на производство и хранение запаса для перво­го календарного периода. Максимальное значение состояния первого этапа ограничивается i_max, т. е. i_{1 =} i_max, а минимальное — i₁ = 0.

Таблица 2.

Окончательная таблица для шага 1

Аналогичные действия выполняются для всех этапов, пока n не достигнет значения N.

Шаг 2. п = 2. Уравнение Беллмана: f₂(i₂)=min(f₁(i₁)+с₂(х₂)+h ∙i₁). Для его решения сформируем промежуточную таблицу 3 и окончательную таблицу 4.

Таблица 3.

Промежуточная таблица для шага 2

Таблица 4.

Окончательная таблица для шага 2

Шаг 3. Рассматриваем функционирование предприятия на последнем интервале, п =N= 3. Уравнение Беллмана: f₃(i₃)=min(f₂(i₂)+с₃(х₃)+h ∙i₂). Для решения уравнения формируются промежуточная и окончательная таблицы шага 3 (таблицы 5 и 6).

Таблица 5.

Промежуточная таблица для шага 3

Таблица 6.

Окончательная таблица для шага 3

 Для нахождения оптимальных объемов производства х_n и оптимальных уровней запаса i_n производим решение задачи в обратном порядке:

i₃ = 0, х₃ = 0;

i₂ ⁼ 400, х₂ = 600;

i₁=200, x₁ = 600; i₀ = 0.

Вывод: для минимизации затрат на производство и хранение продукции, предприятию следует в первые два месяца производить на максимальной мощности, а в третьем месяце — только реализовать имеющиеся запасы. Такой режим работы может повторяться неоднократно.

Список литературы:

1.     Черноморов Г.А. Теория принятия решений: Учебное пособие / — Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2002. — 276 с.