Статья:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АППАРАТА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

Конференция: XXIV Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: технические и математические науки»

Секция: 10. Моделирование

Выходные данные
Долгополов И.Т. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АППАРАТА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ // Молодежный научный форум: Технические и математические науки: электр. сб. ст. по мат. XXIV междунар. студ. науч.-практ. конф. № 5(24). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_tech/5(24).pdf (дата обращения: 10.12.2019)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 9 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АППАРАТА ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

Долгополов Илья Тамазиевич
студент Нижнетагильского технологического института (филиала) УрФУ, РФ, г. Нижний Тагил
Демин Сергей Евгеньевич
научный руководитель, доц. Нижнетагильского технологического института (филиала) УрФУ, РФ, г. Нижний Тагил

 

Аппарат линейной алгебры, как правило, применяется к решению задач экономического содержания [3; 5]. Целью данной работы является применение методов решения систем алгебраических уравнений к моделированию и оценке силы сопротивления среды  движущемуся телу с использованием метода анализа размерностей [4; 6].

Размерность силы сопротивления

,

т.е. матрица размерности скорости  имеет вид:

Предположим, от каких величин может зависеть искомая сила.

Очевидно, что сила  должна зависеть от скорости движения . Далее, логично предположить, что тела с большим поперечным сечением испытывают большее сопротивление, чем с меньшим. Поэтому в ответ должна войти площадь S поперечного сечения тела. И, наконец, сила  должна зависеть от параметра, характеризующего свойства среды.

Таких параметров два: плотность среды  и ее вязкость .

Проведем оценку силы сопротивления среды  в обоих случаях.

а)

Следуя [4], запишем искомую силу сопротивления в виде

,

где: a, b, g — показатели степени, которые необходимо определить.

Размерность выбранных величин  и матрица размерности записывается следующим образом:

Тогда матричное уравнение для определения показателей степеней a, b, g имеет вид

, откуда

Таким образом,

,

т. е. в этом случае сила сопротивления среды пропорциональна квадрату скорости движения тела.

б)

Запишем искомую силу сопротивления в виде

,

где: a, b, g — показатели степени, которые необходимо определить.

Размерность выбранных величин  и матрица размерности записывается следующим образом:

Матричное уравнение для определения показателей степеней a, b, g имеет вид

, откуда

Таким образом,

,

т. е. в этом случае сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения тела.

Полученные формулы для силы сопротивления  принципиально отличаются: в одной из них сила зависит от скорости квадратично, в другой — линейно. Поэтому вопрос о доминировании в каждой конкретной задаче двух процессов — лобового сопротивления или вязкости среды — остается открытым.

Для дальнейшего исследования включим в анализ размерности и плотность среды, и ее вязкость.

в)

Запишем искомую силу сопротивления в виде

,

где: a, b, g, δ — показатели степени, которые необходимо определить.

Размерность выбранных величин

и матрица размерности записывается следующим образом:

Тогда матричное уравнение для определения показателей степеней a, b, g, δ имеет вид:

.

Имеем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными. Исследование совместности полученной системы проведем по методике [2, с. 40].

Приведем расширенную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду:

Очевидно, что ранги матрицы системы и расширенной матрицы совпадают и равны 3, т. е. система имеет множество решений.

За базисный возьмем угловой минор , а за базисные переменные выберем неизвестные .

Исходная система приобретает вид: , откуда по методу Гаусса находим решения: , , следовательно,

Группируя входящие в правую часть уравнения величины, получим:

Комбинация величин в скобках стоит в произвольной степени  Это позволяет предположить, что эта комбинация безразмерна.

Действительно, .

Этот безразмерный параметр в механике сплошных сред называют числом Рейнольдса Re [1, с. 67]:

Число Рейнольдса может быть включено в безразмерную величину k, которая в этом случае оказывается не постоянной величиной, а функцией безразмерного параметра:

Он играет важную роль в определении характера силы сопротивления. График зависимость силы сопротивления от числа Рейнольдса представлен на рисунке 1 [1, с. 78].

 

Рисунок 1. Зависимость силы сопротивления среды от числа Рейнольдса

 

Таким образом, при малых значениях чисел Рейнольдса воспроизводится выражение для силы сопротивления, полученное в п. б), а при больших — формула п. а).

Число Рейнольдса очень полезно с точки зрения моделирования потоков в различных жидкостях и газах, поскольку их поведение зависит не от реальной вязкости, плотности, скорости и линейных размеров элемента потока, а лишь от их соотношения, выражаемого числом Рейнольдса.

Благодаря этому можно, например, поместить в аэродинамическую трубу уменьшенную модель самолета и подобрать скорость потока таким образом, чтобы число Рейнольдса соответствовало реальной ситуации полномасштабного самолета в полете. Далее, можно модель самолета уменьшить в два раза, а скорость обтекания увеличить в два раза и от этого тоже ничего не изменится. И, наконец, можно вместо аэродинамической трубы использовать гидроканал. Расчеты показывают, если модель самолета испытать в воде со скоростью 7 км/час и в воздухе со скоростью 100 км/час, то результат будет одинаков.

 

Список литературы:
1.    Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика сплошных сред. — М.: Физический факультет МГУ, 1998. — 92 с.
2.    Демин С.Е., Демина Е.Л. Линейная алгебра. — Нижний Тагил: РИО НТИ (ф) УГТУ-УПИ, 2005. — 124 с.
3.    Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. — М.: Изд-во ЮНИТИ — ДАНА, 2007. — 471 с.
4.    Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике. — М.: Наука, 1972. — 440 с.
5.    Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике. — М.: Статистика, 1974. — 288 с.
6.    Хантли Г. Анализ размерностей. — М.: Мир, 1970. — 174 с.