Статья:

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЩЕЙ РЕШЁТКИ ДЛЯ ДЕВЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ НА МНОЖЕСТВЕ ИЗ ПЯТИ ЭЛМЕНТОВ, ИМЕЮЩИХ ВЕРНХНЮЮ И НИЖНЮЮ ГРАНИЦУ.

Конференция: XXXIV Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: технические и математические науки»

Секция: 6. Математические науки

Выходные данные
Мошкович С.М., Синицин Н.А. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЩЕЙ РЕШЁТКИ ДЛЯ ДЕВЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ НА МНОЖЕСТВЕ ИЗ ПЯТИ ЭЛМЕНТОВ, ИМЕЮЩИХ ВЕРНХНЮЮ И НИЖНЮЮ ГРАНИЦУ. // Молодежный научный форум: Технические и математические науки: электр. сб. ст. по мат. XXXIV междунар. студ. науч.-практ. конф. № 5(34). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_tech/5(34).pdf (дата обращения: 19.08.2018)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 467 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЩЕЙ РЕШЁТКИ ДЛЯ ДЕВЯТИ ЭЛЕМЕНТОВ НА МНОЖЕСТВЕ ИЗ ПЯТИ ЭЛМЕНТОВ, ИМЕЮЩИХ ВЕРНХНЮЮ И НИЖНЮЮ ГРАНИЦУ.

Мошкович Софья Михайловна
студент, 3 курс, СГАУ им.Королёва, РФ
Синицин Никита Александрович
студент, 3 курс, СГАУ им.Королёва, РФ
Тишин Владимир Викторович
научный руководитель, доцент, кафедра прикладной математики, СГАУ им. Королёва, РФ, г. Самара
 

 

Аннотация. В данной работе исследуется метод построение решётки для девяти элементов: a,b, c, a˅c, b˅c, a˄c, b˄c, a˄ (b˅c), b˅(a˄c), при условии, что b<a и аксиомы теории решётки действительны. Целью работы является доказательство существование такой решётки и построение её диаграмм.

Ключевые слова: Определение: Решётка – чaстичнo yпоpядoченнoe мнoжecтвo, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Определение: Алгебра <L˄,˅> называется решёткой, если L- непустое множество, а ˄ и ˅- бинарные отношения операций на L, которые идемпотентны, коммутативны, ассоциативны и удовлетворяют двум тождествам поглощения.

Вспомогательные теоремы:

для того, чтобы доказать существование общей решётки для девяти элементов на множестве из пяти элментов, имеющих вернхнюю и нижнюю границу, выведем вспомогательные леммы, на которые будем опираться при преобразованиях выражений.

Лемма 1. (L1) Идемпотентность:a˄a=a; a˅a=a

Лемма 2. (L2) Коммутативность: a˄b=b˄a; a˅b=b˅a

Лемма 3. (L3) Ассоциативность: (a˄b)˄ c=a˄ (b˄c)

 (a˅b) ˅ c=a˅ (b˅c)

Лемма 4. (L4) Тождества поглощения: a˄ (a˅b)=a , a˅ (a˄b=a)

Введение.

В первой половине девятнадцатого века попытка Джорджа Буля формализовать пропозициональную логику привела к понятию булевой алгебры. Исследуя аксиоматику булевых алгебр в конце девятнадцатого века, Чарльз Пирс и Эрнст Шрёдер сочли полезным ввести понятие решётки. Независимо от них, Ричард Дедекинд, в своих исследованиях по идеалам алгебраических чисел пришёл к тому же самому понятию. На самом деле Дедекинд ввёл также модулярность, ослабленную форму дистрибутивности. Хотя некоторые из ранних результатов этих математиков очень элегантны и нетривиальны, они не привлекли внимание математической общественностей.

И только работы Гаррета Биркгофа в середине 30-х годов дали толчок общему развитию теории решёток. В блестящей серии работ он продемонстрировал важность теории решёток и показал, что она является унифицирующим каркасом для доселе разрозненных достижений во многих математических дисциплинах. Сам Биркгоф, Валерий Иванович Гливенко, Карл Мингер, Джон фон Нейман, Ойстейн Оре и другие достаточно продвинулись в этой области, чтобы Биркгоф мог сделать попытку "подать" её широкой математической общественности, что он и сделал с удивительным успехом в первом издании своей монографии “Lеttice theory”.

Цель данной работы формулируется очень просто: доказать существование «самой общей решётки» для девяти элементов. На наш взгляд, дистрибутивные решётки сыграли многогранную роль в развитии теории решёток. Исторически теория решёток началась с (булевых) дистрибутивных решёток; в результате теория дистрибутивных решёток представляет одну из наиболее обширных и одну наиболее удовлетворительных глав теории решёток. Дистрибутивные решётки проясняют и обосновывают многие результаты общей теории решёток. Многие условия на решётки, а также элементы и идеалы решёток являются ослабленными формами дистрибутивности. Поэтому глубокое знание дистрибутивных решёток неоценимо при работе в теории решёток. Наконец, во многих приложениях на решётки, возникающие в различных областях математики, и особенно алгебры, налагается условие дистрибутивности.

Общий вид решётки из 5 элементов с условием сравнимости двух промежуточных элементов.

Будем использовать обозначения:

ab=inf{a,b} ab=sup{a,b}

и будем называть «»– пересечением, а «»-объединением. В решётках они являются бинарными операциями, которые, будучи применены к паре элементов a,bL, снова дают элемент из L .

Операции  идемпотентны, коммутативны и ассоциативны, т.е обладают следующими свойствами:

(L1) Идемпотентность:a˄a=a; a˅a=a

(L2) Коммутативность: a˄b=b˄a; a˅b=b˅a

(L3) Ассоциативность: (a˄b)˄ c=a˄ (b˄c)

(a˅b) ˅ c=a˅ (b˅c)

(L4) Тождества поглощения: a˄ (a˅b)=a , a˅ (a˄b=a)

Описание решёток:

Конечную решётку можно всегда описать с помощью таблицы пересечений и таблицы объединений.

Например: Пусть L={0,a,b,1}

 

Мы видим, что большая часть информации приведённой в таблицах, является лишней. Т.к обе операции коммутативны, то таблицы симметричны относительно главной диагонали. Более того, x˄x=x, x˅x=x, поэтому главные диагонали не несут в себе новой информации. Таким образом, две таблицы можно собрать в одну:

 

Другой способ описания решётки состоит в описании частичного порядка, т.е. множества всех таких <x,y>, что xy.В предыдущем примере получаем:

          ={(0,0),(0,a),(0,b),(0,1),(a,a),(a,1),(b,b),(b,1),(1,1)}

Очевидно, все пары вида (x,x) можно не включать в список, т.к. мы знаем, что xx.Мы также знаем, что если x y и y z, то x z .Например, когда мы знаем, что 0a и a 1,то нам не надо указывать, что 0 1. Уточним нашу идею; будем говорить, что в частично упорядоченном множестве (P; ) a покрывает b или b покрывается элементом a (и обозначать это так: a b или ba ), если a>b и не существует x, такого, что a>x>b

Отношение покрываемости в предыдущем примере имеет вид:

*    ={(0,a),(o,b),(a,1),(b,1)}.

Диаграммы.

На диаграмме частично упорядоченного множества (P; ) элементы изображаются в виде маленьких кружков; кружки, соответствующие элементам x,y, соединяются прямой линией тогда и только тогда, когда один из них покрывает другой, если x покрывает y, то кружок соответствующий элементу x ,помещается выше кружка соответствующего элементу y [1].

Постановка проблемы:

Пусть решётка имеет пять элементов 0,a,b,c,I и b<a, cb=I, ac=0.

Покажем, что девять элементов

a,b, c, a˅c, b˅c, a˄c, b˄c, a˄ (b˅c), b˅(a˄c) образуют решётку. Изобразим общий её вид. Надо доказать, что из них при помощи операций объединения и пересечения мы не получим новых элементов. Мы должны проверить тридцать шесть объединений и тридцать шесть пересечений:

 

Рисунок 1. Диаграмма (общий вид) решётки для девяти элементов

 

Таблица 1.

Матрица для операции “˅”

 

a

b

c

a˅c

b˅c

a˄c

b˄c

d

t

a

---------

b

a˅c

a˅c

a

a˄c

b˄c

a

a

b

b

---------

b˅c

a˅c

b˅c

D

b

d

t

c

a˅c

b˅c

---------

a˅c

b˅c

C

c

b˅c

b˅c

a˅c

a˅c

a˅c

a˅c

---------

a˅c

a˄c

a˄c

a˅c

a˅c

b˅c

a

b˅c

b˅c

a˅c

---------

b˄c

b˄c

b˅c

b˅c

a˄c

a˄c

d

c

a˅c

b˅c

---------

a˄c

d

t

b˄c

b˄c

b

c

a˅c

b˅c

a˄c

---------

d

t

d

a

d

b˅c

a˅c

b˅c

D

d

---------

t

t

a

t

b˅c

a˅c

b˅c

T

t

t

---------

 

1)  b˅a=a, ( т.к.a>b)

2)  a˅b=a˅c (L2)

3)  c˅b=b˅c (L2)

4)  (a˅c) ˅a=a˅a˅c=a˅c (L2,L1)

5)  (a˅c) ˅b=a˅b˅c=a˅c (L2,L1)

6)  (a˅c) ˅c=a˅c (L2, т.к. a>b)

7)  (b˅c) ˅a=b˅a˅c=a˅c (L2,L1)

8)  (b˅c) ˅b=b˅b˅c=b˅c

9)  (b˅c) ˅c=b˅c

10) (b˅c) ˅(a˅c)=b˅a˅c˅c=a˅c (L1,L4)

11) (a˄c) ˅a=a (L4)

12) (a˄c) ˅b=b˅ (a˄c) (L2)

13) (a˄c) ˅c=c (L4)

14) (a˄c) ˅a˅c=a˅c (L4,L2)

15) (a˄c) ˅ (b˅c)=(a˄c) (по свойствам дистрибутивности, L4)

16) a˅ (b˄c)= b˄c (L4)

17) (b˄c) ˅b=b (L4)

18) (b˄c) ˅c=c (L4)

19) (b˄c) ˅a˅c=(b˄c) ˅c˅a=a˅c (L2,L4)

20) (b˄c) ˅(b˅c)=b˅c (L4)

21) (b˄c) ˅(a˄c)= a˄c (L2)

22) b˅(a˄c) ˅a=a˅b˅(a˄c)a˅(a˄c)=a (т.к. a>b, L2,L4)

23) b˅(a˄c) ˅b=b˅b˅(a˄c)=b˅(a˄c) (L1,L2)

24) b˅(a˄c) ˅c=b˅c (L4)

25) b˅(a˄c) ˅a˅c=b˅a˅c˅(a˄c)=a˅c (т.к. a>b, L2,L4)

26) b˅(a˄c) ˅b˅c=b˅b˅c˅(a˄c)=b˅c (L1,L2)

27) b˅(a˄c) ˅(a˄c)=b˅(a˄c) (L1,L2)

28) b˅(a˄c) ˅(b˄c)=b˅(b˄c) ˅(a˄c)=b˅(a˄c) (L2,L4)

29) (a˄ (b˅c)) ˅a=a (L4)

30) (a˄ (b˅c)) ˅b=(b˅a) ˄ (b˅(b˅c))=a˄ (b˅c) (L1, т.к.a>b)

31) (a˄ (b˅c))˅c=(a˅c) ˄ (b˅c˅c)=(a˅c) ˄ (b˅c)=(a˅c)˄( c˅b)=b˅c(L2, L4)

32) (a˄ (b˅c)) ˅(a˅c)=a˅c (L4,по свойствам дистрибутивности)

33) (a˄ (b˅c)) ˅(b˅c)=b˅c (L4)

34) (a˄ (b˅c)) ˅(a˄c)= a˄ (b˅c) (L1,L2)

35) (a˄ (b˅c)) ˅( b˄c)= a˄ (b˅c) (L4)

36) (a˄ (b˅c)) ˅( b˅(a˄c))= b˅(a˄c) (L1,L2)

Таблица 2.

Матрица для операции “˄”

 

a

b

c

a˅c

b˅c

a˄c

b˄c

d

t

a

---------

b

a˄c

a

a

a˄c

b˄c

d

t

b

b

---------

b˄c

b

b

b˅c

b˄c

b

b

c

a˄c

b˄c

---------

c

c

a˄c

b˄c

a˄c

a˄c

a˅c

a

b

c

---------

b˅c

a˄c

b˄c

d

t

b˅c

a

b

c

b˅c

---------

a˄c

b˄c

d

t

a˄c

a˄c

b˄c

a˄c

a˄c

a˄c

---------

b˄c

a˄c

a˄c

b˄c

b˄c

b˄c

b˄c

b˄c

b˄c

b˄c

---------

b˄c

b˄c

d

d

b

a˄c

d

d

a˄c

b˄c

---------

d

t

t

b

a˄c

t

t

a˄c

b˄c

d

---------

 

1)  a˄b=b(т.к a>b)

2)  c˄a=a˄c (L2)

3)  c˄b=b˄c(L2)

4)  (a˅c)˄a=a (L4)

5)  (a˅c)˄b=(a˄b) ˅(c˄b)=b˅(c˄b)=b (т.к a>b , L4)

6)  (a˅c)˄c=c(L4 )

7)  (b˅c)˄a=a˄(b˅c) (L2)

8)  (b˅c)˄b=b (L4)

9)  (b˅c)˄c=c (L4)

10) (b˅c)˄(a˅c)=((b˅c)˄a) ˅((b˅c)˄c)=((b˅c)˄a) ˅c=b˄a˅(c˄a) ˅c=b˅c( т.к a > b, L4, по свойствам дистрибутивности)

11) (a˄с)˄a=a˄a˄c=a˄c (L2,L1)

12) (a˄c)˄b=a˄b˄c=b˄c (т.к a>b, L2)

13) (a˄c)˄c= a˄c (L1)

14) (a˄c) ˄(a˅c)=(a˄c˄a) ˅(a˄c˄c)=(a˄c) ˅(a˄c)=a˄c (L1)

15) (a˄c)˄(b˅c)=a˄c

16) (b˄c)˄a=b˄a˄c=b˄c (т.к a>b, L2)

17) (b˄c)˄b=b˄b˄c=b˄c (L2, L1)

18) (b˄c)˄=b˄c (L1)

19) (b˄c)˄(a˅c)=(b˄c˄a) ˅(b˄c˄c)=(b˄c) ˅(b˄c)=b˄c (по свойствам дистрибутивности)

20) (b˄c)˄(b˅c)=(b˄c˄b) ˅(b˄c˄c)=(b˄c) ˅(b˄c)= b˄c (по свойствам дистрибутивности и L1)

21) (b˄c)˄(a˄c)=b˄a˄c˄c=b˄c (L2, т.к a>b, L1)

22) (b˅(a˄c))˄a=((a˄c) ˅(b˄a)=(a˄c) ˅b (L2, т.к a>b)

23) (b˅(a˄c))˄b=b (L4)

24) (b˅(a˄c))˄c=a˄c (L4, по свойствам дистрибутивности)

25) (b˅(a˄c))˄(a˅c)=b˅(a˄c) (L4)

26) (b˅(a˄c))˄(b˅c)=(b˅c)˄b˅(a˄c˄b˄c)=b˅(a˄b˄c˄c)=b˅(a˄c) (т.к a>b, L1)

27) (b˅(a˄c))˄(a˄c) =a˄c (L4)

28) (b˅(a˄c))˄(b˄c)=(b˄c˄c) ˅(a˄b˄b˄c)=(b˄c) ˅(b˄b˄c)=(b˄c) ˅(b˄c)=b˄c (L2,L1, т.к a>b)

29) (a˄(b˅c))˄a=a˄a˄(b˅c)=a˄(b˅c) (L1, L2 по свойствам дистрибутивности)

30) (a˄b(b˅c))˄b=a˄b˄(b˅c)=b˄(b˅c)=b (т.к a>b , L4)

31) (a˄(b˅c))˄c=((a˄c)˄)b˅c=a˄c (L4)

32) (a˄(b˅c))˄(a˅c)=a˄(a˅c)˄(b˅c)=a˄(b˅c) (L2, L4)

33) (a˄(b˅c))˄(b˅c)= a˄(b˅c) (L1)

34) (a˄(b˅c))˄(a˄c)=a˄a˄c(b˅c)=a˄c (L1, L2, L4)

35) (a˄(b˅c))˄(b˄c)= a˄b˄c=b˄c (т.к a>b, L4)

36) (a˄(b˅c))˄(b˅(a˄c))=(a˄(b˅c)˄b) ˅ ˅(a˄(a˄c)˄(b˅c)=(a˄b)˅(a˄c)=b˅(a˄c) (т.к a>b, L4,L1)

Заключение/

Проведя алгебраические преобразования и составив по результатам матрицы, мы пришли к выводу, что возможно построение общей решётки для девяти элементов, т.к. новых элементов получено не было. Тем самым доказательство теории решёток для данных условий на девяти элементах a,b, c, a˅c, b˅c, a˄c, b˄c, a˄ (b˅c), b˅(a˄c), при условии что b<a и аксиом теории решётки верно.

 

Список литературы:
1. Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982. 28–29 с.
2. Биркгоф Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1984. 101 с.