Изучение темы «Логарифмические уравнения и неравенства» на профильном уровне

Аннотация. В статье рассматривается понятие логарифмической функции. Приводятся примеры уравнений и неравенств, решение которых основано на применении некоторых свойств логарифмической функции.

Ключевые слова: понятие логарифмической функции, логарифмы, уравнения, неравенства.

Уравнения и неравенства занимают особое место в школьном курсе математики. Стоит отметить, что решение уравнений и неравенств часто применяется в важных прикладных задачах. Однако логарифмические уравнения и неравенства в школьном курсе занимают не так много времени. В то же время задания из этой темы достаточно часто встречаются на экзаменах, и они зачастую вызывают трудности у учащихся, потому что для их решения не всегда достаточно применить элементарные преобразования, изучаемые в школьном курсе.

Тема логарифмической функции традиционно входит в школьный курс математики в средней школе. В школьном курсе алгебры и начале анализа тема «Логарифмические уравнения и неравенства» изучается в 10-11 классах.

Структура тематического планирования по учебнику А.Н. Колмогорова построена так, что сначала изучаются функции, их определения и свойства. Таким образом, при подходе к теме «Логарифмическая функция, её свойства и график» учащиеся уже достаточно обладают знаниями о функциях, их графиках. Особенно при усвоении учебного материала детям помогает тот факт, что они уже знакомы с показательной функцией.

Что касается следующего поколения учебников в старших классах, а именно учебника Ю.М. Колягина, то его структура отличается от структуры учебника А.Н. Колмогорова [4]. Логарифмы изучается в нём во втором полугодии 10 класса. В этом можно выделить преимущество данного учебника по сравнению со своим предшественником: учащиеся раньше знакомятся с данной темой и, следовательно, у них будет больше времени на решение заданий ЕГЭ на применение логарифмов [2].

В рассматриваемых учебниках исследуемой теме отводится разное место. Так, в учебнике С.М. Никольского для 10 класса тема «Логарифмы» изучается в пятом параграфе [6]. В учебнике Ш.А. Алимова для 10-11 классов изучаются «Логарифмы» в 15-17 параграфах четвертой главы «Логарифмическая функция» [1]. А в учебнике А.Г. Мордковича (профильный уровень) для 11 класса в 14-16 параграфах третьей главы «Показательная и логарифмическая функции» [5].

Определим понятие логарифма и его свойства из школьного курса математики. Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения  в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Данное уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают , т.е.  [3].

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию а, где , - это показатель степени, в которую требуется возвести число а, чтобы получить b.

К примеру, 

.

Понятие логарифма можно интерпретировать следующим образом:

Данное равенство будет справедливым при 

Как правило, данное равенство называется основное логарифмическое тождество [7].

К примеру, . При помощи основного логарифмического тождества есть возможность доказать, к примеру, что  - это корень уравнения . Фактически, 

Логарифмирование – это действие по нахождению логарифма.

В процессе выполнения преобразований выражения, содержащего логарифм, в ходе вычислений и в процессе решения уравнений зачастую применяются разные свойства логарифмов. Рассмотрим главные из них.

Допустим является любым действительным числом. Следовательно, будут справедливыми следующие формулы:

В соответствии с основным логарифмическим тождеством:

1) Умножая равенства (4) и (5), можем получить следующее:

Следовательно, в соответствии с определением логарифма .

Формула (1) доказана.

2) Разделив равенства (4) и (5), можем получить следующее:

Следовательно, в соответствии с определением логарифма следует формула (2).

3) Возводя основное логарифмическое тождество  в степень с показателем r, получаем откуда по определению логарифма следует формула (3) [7].

В математике и ее приложениях часто встречается логарифмическая функция

Где а – заданное число, a > 0, a≠1.

У логарифмической функции есть определенные свойства:

1) Область определения логарифмической функции является множеством всех положительных чисел. Данное свойство следует из определения логарифма, потому что выражение обладает смыслом лишь при x > 0.

2) Множество значений логарифмической функции является множеством R всех действительных чисел. Данное свойство следует из того, что для любого действительного числа b существует такое положительное число x, что , т.е. уравнение  имеет корень. Такой корень существует и равен так как 

3) Логарифмическая функция - это возрастающая на промежутке x > 0, если a > 1 , и убывающая, если 0 < a < 1.

Допустим a > 1 докажем, что если 0<x₁<x₂, то y(x₁)<y(x₂) т.е.  Используя основное логарифмическое тождество, условие x₁<x₂ запишем следующее: Из данного неравенства в соответствии со свойством степени с основанием a>1 получим, что  

Допустим 0 < a < 1. Докажем, что если 0 < x₁ <x₂, то   Записав условие x₁ < x₂ в виде получаем  потому что 0 < a < 1.

Можно отметить, что справедливы и такие два утверждения:

Если a> 1 и где то  

4) Если a >1, то функция  может принимать положительное значение при x >1, отрицательное при 0 < x <1. Если 0 < a < 1, то функция может принимать положительное значение при 0 < x < 1, отрицательное при x>1. Это следует из того, что функция принимает значение, равное нулю, при x=1 и возрастает на промежутке x > 0, если a >1, и убывает, если 0 < a < 1 [7].

Итак, изучение уравнений и неравенств такого типа очень важно в школьном курсе математики, так как примеры, содержащие показательные уравнение и неравенства, встречаются в заданиях ЕГЭ, не только в составе логарифмических и показательных уравнений и неравенств, но и в системах и смешанных уравнений. Применение логарифмов с целью удовлетворения практической потребности человека – это неотъемлемая часть сегодняшней жизни. Логарифмы позволяют уменьшить и упростить трудное вычисление, они также лежат в основе физического и сейсмологического процесса, происходящего в природной среде, помогают установить раздражительность человека в определенной ситуации.