Изучение темы «Логарифмические уравнения и неравенства» на профильном уровне
Журнал: Научный журнал «Студенческий форум» выпуск №33(126)
Рубрика: Педагогика
![](https://nauchforum.ru/themes/mix_and_match/images/logo.jpg)
Научный журнал «Студенческий форум» выпуск №33(126)
Изучение темы «Логарифмические уравнения и неравенства» на профильном уровне
Аннотация. В статье рассматривается понятие логарифмической функции. Приводятся примеры уравнений и неравенств, решение которых основано на применении некоторых свойств логарифмической функции.
Ключевые слова: понятие логарифмической функции, логарифмы, уравнения, неравенства.
Уравнения и неравенства занимают особое место в школьном курсе математики. Стоит отметить, что решение уравнений и неравенств часто применяется в важных прикладных задачах. Однако логарифмические уравнения и неравенства в школьном курсе занимают не так много времени. В то же время задания из этой темы достаточно часто встречаются на экзаменах, и они зачастую вызывают трудности у учащихся, потому что для их решения не всегда достаточно применить элементарные преобразования, изучаемые в школьном курсе.
Тема логарифмической функции традиционно входит в школьный курс математики в средней школе. В школьном курсе алгебры и начале анализа тема «Логарифмические уравнения и неравенства» изучается в 10-11 классах.
Структура тематического планирования по учебнику А.Н. Колмогорова построена так, что сначала изучаются функции, их определения и свойства. Таким образом, при подходе к теме «Логарифмическая функция, её свойства и график» учащиеся уже достаточно обладают знаниями о функциях, их графиках. Особенно при усвоении учебного материала детям помогает тот факт, что они уже знакомы с показательной функцией.
Что касается следующего поколения учебников в старших классах, а именно учебника Ю.М. Колягина, то его структура отличается от структуры учебника А.Н. Колмогорова [4]. Логарифмы изучается в нём во втором полугодии 10 класса. В этом можно выделить преимущество данного учебника по сравнению со своим предшественником: учащиеся раньше знакомятся с данной темой и, следовательно, у них будет больше времени на решение заданий ЕГЭ на применение логарифмов [2].
В рассматриваемых учебниках исследуемой теме отводится разное место. Так, в учебнике С.М. Никольского для 10 класса тема «Логарифмы» изучается в пятом параграфе [6]. В учебнике Ш.А. Алимова для 10-11 классов изучаются «Логарифмы» в 15-17 параграфах четвертой главы «Логарифмическая функция» [1]. А в учебнике А.Г. Мордковича (профильный уровень) для 11 класса в 14-16 параграфах третьей главы «Показательная и логарифмическая функции» [5].
Определим понятие логарифма и его свойства из школьного курса математики. Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Данное уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают
, т.е.
[3].
Определение. Логарифм положительного числа b по основанию а, где , - это показатель степени, в которую требуется возвести число а, чтобы получить b.
К примеру,
.
Понятие логарифма можно интерпретировать следующим образом:
Данное равенство будет справедливым при
Как правило, данное равенство называется основное логарифмическое тождество [7].
К примеру, . При помощи основного логарифмического тождества есть возможность доказать, к примеру, что
- это корень уравнения
. Фактически,
Логарифмирование – это действие по нахождению логарифма.
В процессе выполнения преобразований выражения, содержащего логарифм, в ходе вычислений и в процессе решения уравнений зачастую применяются разные свойства логарифмов. Рассмотрим главные из них.
Допустим является любым действительным числом. Следовательно, будут справедливыми следующие формулы:
В соответствии с основным логарифмическим тождеством:
1) Умножая равенства (4) и (5), можем получить следующее:
Следовательно, в соответствии с определением логарифма .
Формула (1) доказана.
2) Разделив равенства (4) и (5), можем получить следующее:
Следовательно, в соответствии с определением логарифма следует формула (2).
3) Возводя основное логарифмическое тождество в степень с показателем r, получаем
откуда по определению логарифма следует формула (3) [7].
В математике и ее приложениях часто встречается логарифмическая функция
Где а – заданное число, a > 0, a≠1.
У логарифмической функции есть определенные свойства:
1) Область определения логарифмической функции является множеством всех положительных чисел. Данное свойство следует из определения логарифма, потому что выражение обладает смыслом лишь при x > 0.
2) Множество значений логарифмической функции является множеством R всех действительных чисел. Данное свойство следует из того, что для любого действительного числа b существует такое положительное число x, что , т.е. уравнение
имеет корень. Такой корень существует и равен
так как
3) Логарифмическая функция - это возрастающая на промежутке x > 0, если a > 1 , и убывающая, если 0 < a < 1.
Допустим a > 1 докажем, что если 0<x1<x2, то y(x1)<y(x2) т.е. Используя основное логарифмическое тождество, условие x1<x2 запишем следующее:
Из данного неравенства в соответствии со свойством степени с основанием a>1 получим, что
Допустим 0 < a < 1. Докажем, что если 0 < x1 <x2, то Записав условие x1 < x2 в виде
получаем
потому что 0 < a < 1.
Можно отметить, что справедливы и такие два утверждения:
Если a> 1 и где
то
4) Если a >1, то функция может принимать положительное значение при x >1, отрицательное при 0 < x <1. Если 0 < a < 1, то функция может принимать положительное значение при 0 < x < 1, отрицательное при x>1. Это следует из того, что функция
принимает значение, равное нулю, при x=1 и возрастает на промежутке x > 0, если a >1, и убывает, если 0 < a < 1 [7].
Итак, изучение уравнений и неравенств такого типа очень важно в школьном курсе математики, так как примеры, содержащие показательные уравнение и неравенства, встречаются в заданиях ЕГЭ, не только в составе логарифмических и показательных уравнений и неравенств, но и в системах и смешанных уравнений. Применение логарифмов с целью удовлетворения практической потребности человека – это неотъемлемая часть сегодняшней жизни. Логарифмы позволяют уменьшить и упростить трудное вычисление, они также лежат в основе физического и сейсмологического процесса, происходящего в природной среде, помогают установить раздражительность человека в определенной ситуации.
![](/sites/default/files/publ_rinc.png)