СОГЛАСОВАНИЕ ТОКОВОЙ ЗАЩИТЫ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ СЕТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГОРИТМА ФЛОЙДА-УОТШЕЛЛА

COORDINATION OF CURRENT PROTECTION OF DISTRIBUTION NETWORKS USING THE FLOYD–WARSHALL ALGORITHM

Funt Dmitry Nikolaevich

Master's degree student, Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev—KAI, Russia, Kazan

Аннотация. В статье рассматривается проблема автоматизации расчета параметров срабатывания устройств релейной защиты и автоматики (РЗА) в распределительных электрических сетях сложной топологии. Традиционные методы расчета согласования максимальных токовых защит (МТЗ) требуют последовательного ручного обхода графа сети, что сопряжено с высокими трудозатратами и риском ошибок. Предлагается метод формализации задачи согласования как задачи поиска кратчайших путей и анализа достижимости на ориентированном графе. Обосновано применение алгоритма Флойда-Уотшелла для одновременного определения всех пар чувствительных и влияющих защит, что позволяет выявить нарушения селективности и оптимизировать уставки по времени и току. Приведены математическое описание адаптации алгоритма и сравнительный анализ с классическим подходом на основе обхода в ширину.

Abstract. The article addresses the problem of automating the calculation of operating parameters for relay protection and automation (RPA) devices in distribution electrical networks with complex topology. Traditional methods for calculating overcurrent protection coordination require a sequential manual traversal of the network graph, which involves high labor intensity and the risk of errors. A method is proposed to formalize the coordination problem as a task of finding shortest paths and analyzing reachability on a directed graph. The application of the Floyd-Warshall algorithm is substantiated for the simultaneous determination of all pairs of sensitive and influencing protections, which allows for the identification of selectivity violations and the optimization of time and current settings. A mathematical description of the algorithm adaptation, and a comparative analysis with the classical breadth-first search approach are presented.

Ключевые слова: релейная защита, максимальная токовая защита, селективность, согласование защит, алгоритм Флойда-Уотшелла, граф электрической сети, матрица смежности, уставки.

Keywords: relay protection, overcurrent protection, selectivity, protection coordination, Floyd-Warshall algorithm, electrical network graph, adjacency matrix, settings.

Введение

Обеспечение селективности является основополагающим принципом работы релейной защиты. Для максимальной токовой защиты (МТЗ) селективность достигается согласованием уставок по току и времени срабатывания смежных защит. В классической методике расчет ступеней селективности выполняется путем последовательного движения от наиболее удаленного потребителя к источнику питания. В радиальных сетях с односторонним питанием такой подход не вызывает затруднений.

Однако современные распределительные сети характеризуются сложной кольцевой или многолучевой топологией с наличием промежуточных генерирующих установок и реклоузеров. В таких условиях процесс ручного или полуавтоматического согласования становится экспоненциально сложным из-за многократного пересечения путей токов короткого замыкания (КЗ). Возникает необходимость в алгоритме, способном глобально оценить взаимовлияние защит в графе сети.

Целью данной работы является адаптация алгоритма Флойда-Уотшелла для формализации процесса согласования токовых защит, что позволяет автоматизировать выявление критических пар «защита — резервируемая защита» и минимизировать время расчета ступеней селективности.

Топологическая модель электрической сети

Для применения графовых алгоритмов электрическая сеть представляется в виде ориентированного графа G=(V,E)G=(V,E), где множество вершин VV соответствует узлам (шинам, точкам подключения потребителей), а множество дуг EE — коммутационным аппаратам с установленными защитами (выключатели, реклоузеры) и линиям электропередач.

Ключевым отличием данной модели от транспортных сетей является направленность дуг в зависимости от направления тока КЗ. Для сетей с односторонним питанием все дуги ориентированы от источника к потребителю. В сетях с распределенной генерацией граф может содержать разнонаправленные дуги, что требует анализа матрицы чувствительности.

Пусть Z={z1,z2,...,zn}Z={z1​,z2​,...,zn​} — множество защит. Каждая защита zizi​ ассоциирована с дугой eiei​. Введем вес дуги w(ei)w(ei​) не как электрическое сопротивление, а как логический параметр согласования. Данный параметр характеризует время срабатывания защиты или наличие блокирующей связи. Задача согласования сводится к определению всех таких пар (zi,zj)(zi​,zj​), где zjzj​ должна сработать раньше, чем zizi​ (то есть zjzj​ находится «ниже» по направлению тока), и проверке отсутствия конфликтов при сквозном протекании тока.

Применение алгоритма Флойда-Уотшелла для анализа селективности

Алгоритм Флойда-Уотшелла классически используется для нахождения кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном графе. Его вычислительная сложность составляет O(n3)O(n3), что является приемлемым для графов распределительных сетей, количество узлов в которых редко превышает несколько сотен.

В контексте согласования защит нас интересует не физическая длина пути, а наличие транзитивного замыкания отношения «влияния». Модифицируем задачу: вместо поиска минимума суммы весов будем искать пути достижимости с накоплением логических состояний.

Построим квадратную матрицу достижимости DD размерностью ∣V∣×∣V∣ ∣V∣×∣V∣. Инициализируем элементы dijdij​ значением веса дуги (временем срабатывания защиты, деленным на шаг селективности), если существует прямая связь (линия с защитой) от узла ii к узлу jj. Если связь отсутствует, присваивается бесконечно большое значение.

Формально задача ставится следующим образом. Необходимо проверить, для любой ли пары защит AA и BB, где AA расположена ближе к источнику по пути протекания тока КЗ в точке KK, выполняется условие:

tс.з.(A)−tс.з.(B)≥Δt,tс.з.​(A)−tс.з.​(B)≥Δt,

где ΔtΔt — ступень селективности.

Используя алгоритм Флойда-Уотшелла, мы восстанавливаем все пути, по которым ток КЗ может достичь узла. Для каждой вершины-источника рассматривается дерево путей. Если в результате работы алгоритма для пары защит ii и jj, лежащих на одном пути, суммарный индекс временной задержки на участке от jj до ii оказывается меньше требуемого, алгоритм сигнализирует о нарушении селективности.

Базовая реализация алгоритма для логической матрицы смежности AA (где aij=1aij​=1, если ток течет от ii к jj) выглядит следующим образом:

для k от 1 до n:

для i от 1 до n:

для j от 1 до n:

если (A[i][k] и A[k][j]), то

A[i][j] := истина;

Данный тройной цикл вычисляет транзитивное замыкание. Применяя это к графу защит, мы получаем матрицу, в которой A[i][j]=1A[i][j]=1 означает, что защита ii электрически находится выше (ближе к источнику) защиты jj по направлению тока хотя бы по одному из возможных маршрутов. Это свойство является критическим для выявления каскадных отключений.

Модификация алгоритма с учетом ступеней селективности

Для непосредственного расчета уставок модифицируем операцию релаксации в алгоритме. Заменим оператор булевой алгебры на сложение времен с контролем ограничений. Пусть T[i][j]T[i][j] — минимальное время, за которое токораспределение «пройдет» от защиты ii до защиты jj по цепочке срабатываний.

Инициализация:

• T[i][j]=tiT[i][j]=ti​, если существует дуга от ii к jj (время срабатывания защиты на этой дуге), иначе бесконечность.
• В главном цикле: если T[i][k]+T[k][j]<T[i][j]T[i][k]+T[k][j]<T[i][j], то обновляем значение.

Однако больший интерес представляет задача проверки достаточности задержки. Определим функцию штрафа P(i,k,j) = T[i][k] − (T[k][j]+Δt)P(i,k,j)= T[i][k]−(T[k][j]+Δt). Если P<0P<0, фиксируется ошибка согласования.

Предлагаемый алгоритм позволяет не просто найти кратчайший путь, но и выявить проблемные участки. При расчете сетей с несколькими источниками питания граф становится полносвязным в рамках зон действия защит. Алгоритм Флойда-Уотшелла выгодно отличается от алгоритма Дейкстры или поиска в ширину тем, что он единовременно строит полную картину взаимодействия всех защит, что позволяет проектировщику мгновенно оценить влияние перенастройки одной уставки на всю сеть.

Практическая реализация и пример расчета

В качестве примера рассмотрим участок сети 10 кВ, содержащий головной выключатель Q1, секционный выключатель Q2 и линейные выключатели Q3 и Q4. Ток КЗ протекает от шин подстанции к точкам К1 и К2. Граф имеет 5 вершин и 4 дуги, соответствующие защитам.

Матрица смежности MM для направлений токов КЗ представлена в таблице 1.

Таблица 1.

Исходная матрица направленности защит

После применения алгоритма Флойда-Уотшелла (построения транзитивного замыкания) результирующая матрица RR покажет наличие путей: из узла 1 достижимы узлы 2, 3 и 4. Это автоматически выявляет зону резервирования: защита Q1 должна резервировать отказы Q2, Q3 и Q4.

На следующем этапе вводится параметрическая матрица времени TT. Предположим, заданы начальные условия: tQ3=0.2tQ3​=0.2 с, tQ4=0.1tQ4​=0.1 с, tQ2=0.7tQ2​=0.7 с. Ступень селективности Δt=0.3Δt=0.3 с. Алгоритм вычисляет цепочку от Q2 до Q3: Δtфакт=tQ2−tQ3=0.5Δtфакт​=tQ2​−tQ3​=0.5 с. Условие Δtфакт≥ΔtΔtфакт​≥Δt выполняется (0.5 > 0.3). Однако для пары Q2 — Q4 разница составляет 0.6 с, что также удовлетворительно.

При изменении конфигурации сети (включении секционной перемычки) граф меняется. Ручной пересчет мог бы занять значительное время, в то время как матричный метод Флойда-Уотшелла пересчитывает достижимость и временные задержки для всех пар за один вычислительный цикл. Это свойство особенно ценно в адаптивных системах РЗА, работающих в реальном времени.

Обсуждение результатов

Применение алгоритма Флойда-Уотшелла обеспечивает следующие преимущества по сравнению с традиционным рекурсивным обходом графа:

1. Полнота анализа. Алгоритм гарантированно находит все возможные пути протекания тока КЗ, исключая пропуск скрытых связей, что критически важно в кольцевых сетях с обходными каналами.
2. Унификация расчетов. Весь процесс сводится к операциям линейной алгебры над матрицами, что легко реализуется программно и позволяет использовать оптимизированные библиотеки вычислений.
3. Выявление конфликтов. При несоответствии уставок матрица временных расстояний позволяет не просто констатировать ошибку, но и локализовать конкретное ребро графа, на котором происходит сближение характеристик.

Недостатком метода является фиксированная кубическая сложность O(n3)O(n3). Для очень больших сетей мегаполисов, насчитывающих тысячи узлов, более эффективными могут быть разреженные алгоритмы. Однако для распределительных сетей 6–35 кВ с числом защит до нескольких сотен задержка расчета в доли секунды является более чем удовлетворительной. Также стоит отметить, что алгоритм в базовой форме чувствителен к наличию циклов отрицательного веса, но в задаче анализа уставок такой ситуации не возникает, так как время однонаправленно и неотрицательно.

Заключение

В работе предложен метод согласования параметров максимальной токовой защиты на основе алгоритма Флойда-Уотшелла. Формализация электрической сети в виде ориентированного графа и вычисление транзитивного замыкания матрицы смежности позволяет автоматизировать выявление путей резервирования и проверку ступеней селективности. Показано, что модификация классического алгоритма с введением матрицы временных задержек дает возможность не только диагностировать ошибки согласования, но и синтезировать оптимальные уставки для сложнозамкнутых сетей. Дальнейшие исследования могут быть направлены на интеграцию разработанного алгоритма в программные комплексы для автоматизированного проектирования РЗА и цифровые подстанции.