ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОГО ТЕЛА ИДЕАЛЬНО КРУГЛОЙ ФОРМЫ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СО СТРУНОЙ, ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

АННОТАЦИЯ В данной работе рассматривается самосогласованная задача о взаимодействии плоского тела идеально круглой формы со струной, лежащей на упругом основании. Целью работы является вывод закона движения плоского тела идеально круглой формы, и моделирование распространения волны в струне, после взаимодействия с диском. Задача решалась методами операционного исчисление. Этот метод был выбран в силу его компактности, удобства и простоты при решении дифференциальных уравнений с частными производными. Ключевые слова: диск; струна; операционное исчисление; уравнение колебаний струны. Пусть на покоящуюся в начальный момент времени струну, лежащую на упругом основании, малые поперечные колебания, которой описываются уравнением: , (1) (2) где — скорость распространения поперечных волн в струне, величина характеризует упругие свойства системы, «наезжает» плоское тело круглой формы с идеально гладкой поверхностью (диск радиуса ) и массой (Рис. 1). Рис. 1 Взаимодействие диска со струной Уравнение движения «низшей» точки диска задается уравнением: где — искомая функция, которая определяется из условия динамического взаимодействия диска со струной. Тогда в момент времени в указанной системе координат уравнение «низшей» части границы тела имеет вид: Из условия , как легко видеть, следует, что скорость движения «точки контакта» , где на некотором интервале времени превышает критическую (при ), следовательно при . Из того, что сила реакции струны направлена по нормали к поверхности тела следует равенство углов, обозначенных через α и, следовательно, в движущейся «точке» должны выполняться условия непрерывности и «нормального отражения» струны, т.е.: (3) Уравнение поперечных колебаний струны В силу симметрии задачи уравнение (1) достаточно рассмотреть в области , при этом можно считать выполненным условие: (4) Решение будем искать ограниченным при и при . Применяем преобразование Лапласа по переменной к (1): В результате, действуя аналогично (2) с учетом начальных условий и (3) в точке получаем операторное уравнение: (5) где обозначено (главное значение корня при p>0), , . Из уравнения (5), используя условие (3) (соответствующее условию «склейки» при x=0) однозначно находим образ искомого решения u(x,t): (6) где . Найдем асимптотику при больших , Rep>0 интегралов из (6). В данном случае асимптотика проще вычисляется непосредственно из вида интегралов (5) интегрированием по частям и соответствующим оценкам согласно общей методике построения асимптотического ряда [2]. В результате достаточно громоздких вычислений можно убедиться, что, например главный асимптотический член первого слагаемого имеет вид: (здесь точка максимального вклада для интеграла x=0) Далее исследуется асимптотика двух оставшихся слагаемых из (6):u2и u3, которая оказывается аналогичной приведенной выше. Точки максимально вклада интеграла здесь соответственно левый и правый концы промежутка интегрирования: , . Отметим, что из приведенных асимптотических формул вытекает, что величина в правой части формулы (6) является образом и, следовательно, найдется функция действительно являющаяся решением задачи (1—4). Записывая формулу обращения для первого слагаемого в (6): отметим, что вклад в величину части внутреннего интеграла , а именно: где - первый положительный корень уравнения: После этого допустимо поменять порядок интегрирования и затем остается воспользоваться известными формулами операционного исчисления. Действительно пусть где и вертикальная прямая принадлежит правой полуплоскости. Поскольку начало интегрирования является точкой максимального вклада для внутреннего интеграла, то подынтегральная функция внешнего интеграла имеет асимптотику: где не зависит от и на основании леммы Жордана. Заметим, что если , т. е. решение в этом случае умножается на единичную функцию Хевисайда: . На основании выше сказанного, первое слагаемое (6) перепишется в виде: Известна формула: где — функция Бесселя. Согласно теореме запаздывания получим: или окончательно: Аналогично обращаются два оставшиеся слагаемые в (6). Окончательно можно записать: где Закон движения плоского тела На основании выше сказанного можем записать уравнение движения идеально — гладкогодиска радиуса и массы (рис. 1) где — уравнение границы тела: -координата движущейся точки контакта, Или в рассматриваемом случае из (1) получаем следующее нелинейное дифференциальное уравнение где Обратим внимание, что при рассматриваемом взаимодействии, как следует из последнего слагаемого (2), сила реакции стремится к бесконечности при Уравнение (2) легко решается в квадратурах. (3 вложенные квадратуры). Действительно, понижаем порядок ( , получаем дифференциальное уравнение Бернулли Из последнего уравнения находим где где — пока произвольная постоянная. Для проведения в дальнейшем анализа, в том числе и численного, закона движения , далее проводятся преобразования формулы для , которые из-за громоздкости выражений не приводятся. В результате с учётом начальных условий получаем где обозначено — известные интегральные показательные функции, определяемые формулами: Окончательно записываем закон движения тела (в виде обратной функции ): Список литературы: 1. Андрианов В.Л., Крысов С.В. Решение одной краевой задачи динамики упругой системы с движущейся нагрузкой методом интегральных преобразований // Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз, тематич. сб. науч. тр. / Под редакцией Н.Ф Федорова. Горьк. гос. ун-т. Горький, 1985. С. 88—95. 2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967 3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 4. Григорян С.С., Григорян Д.М. Об ударе конусом по тонкой упругой мембране. ПММ, 1966, т. 30, вып. 6. 5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высш. школа, 1975, С. 266—267. 6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 7. Ленский Э.В. Удар клином по упругой нити. Инж. ж. МТТ, 1968, № 2. 8. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. М.: АФизматгиз, 1961 9. Рябис А.А. поперечный удар притупленным телом по гибкой связи при наличии трения. Вестн. МГУ, сер.матем. механ., 1966, № 6.