ГЕНЕРАЦИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПРИ РЕШЕНИИ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу

 для ,                                         (1)

условия Дирихле:

,                                                              (2)

условия Неймана:

                                           (3)

Задачи (1), (2) и (1), (3) эквивалентны задаче минимизации функционала:

                       (4)

Произведем разбиение  с шагом , получим сетку . Приближенное решение ищем в виде линейной комбинации:

,                                                       (5)

где коэффициенты  — значения искомой функции в узлах сетки, а  — финитные функции (базисные), заданные на разбиениях  такие, что , . Вид базисных функции [1, с. 101]:

, ,

,   .

Геометрическая интерпретация базисных функций:

Рисунок 1. Графики базисных функций

Осуществляя переход от непрерывной задачи к конечномерной, подставляем (5) в (4). Для задач Дирихле и Неймана функционал принимает вид:

,

где: , а  — элементы матрицы жесткости:

             (6)

Учитывая необходимое и достаточное условие существования минимума выпуклого функционала, находим его вариацию и приравниваем ее к нулю. В результате получаем систему вида:

                        (7)

Для задачи Дирихле с однородными краевыми условиями  матрица жесткости имеет вид:

               (8)

Соответствующая система уравнений:

                                 (9)

Для задачи Дирихле с неоднородными краевыми условиями  матрица жесткости примет вид:

                (10)

Соответствующая система уравнений:

                                 (11)

В задаче Неймана с однородными краевыми условиями  значение функции на границе определяется следующим образом:

Тогда матрица жесткости:

           (12)

А соответствующая ей система примет вид:

                           (13)

Для задачи Неймана с неоднородными краевыми условиями  матрица жесткости имеет вид (12), система уравнений:

                                                 (14)

где:

Так как матрицы коэффициентов систем имеют трехдиагональный вид, то целесообразно решать их методом прогонки.

Пример 1. Найти непрерывную на  функцию  удовлетворяющую уравнению  и краевым условиям .

В результате решения данной краевой задачи при  получаем:

, .

Базисные функции:

; ; ;

; .

В матрице жесткости элементы главной диагонали равны , поддиагональ и наддиагональ состоит из элементов . Правые части системы:

В результате решения получаем искомые коэффициенты:

Приближенное решение имеет следующий вид:

График приближенного решения представлен на рисунке 2.

Рисунок 2. График решения задачи Дирихле с однородными краевыми условиями

Пример 2. Найти решение задачи Дирихле на  для уравнения  и краевых условий  Значения  такие же как в примере 1. Базисные функции, для узлов  и :

; .

В матрице жесткости  элементы на главной диагонали равны , а поддиагональные и наддиагональные элементы равны .

Правые части системы:

Искомые коэффициенты:

Приближенное решение имеет следующий вид:

График приближенного решения представлен на рисунке 3.

Рисунок 3. График решения задачи Дирихле с неоднородными краевыми условиями

Пример 3. Найти на  функцию  удовлетворяющую уравнению  и краевым условиям  Значения

 как в примере 2.

В матрице жесткости  диагональные элементы равны , поддиагональные и наддиагональные  .

Правые части системы:

Получаем коэффициенты:

Приближенное решение имеет следующий вид:

График приближенного решения представлен на рисунке 4.

Рисунок 4. График решения задачи Неймана с однородными краевыми условиями

Пример 4. Найти на  функцию  удовлетворяющую уравнению  и краевым условиям  Значения  

как в примере 3.

В матрице жесткости   диагональные элементы равны , поддиагональные и наддиагональные  .

Правые части системы:

Получаем коэффициенты:

Приближенное решение имеет следующий вид:

График приближенного решения представлен на рисунке 5.

Рисунок 5. График решения задачи Неймана с неоднородными краевыми условиями

Список литературы:

1.            Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — 416 с.