Статья:

КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ АЛГЕБР СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Конференция: XXIV Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: естественные и медицинские науки»

Секция: 3. Физические науки

Выходные данные
Белоглазов Н.В., Мячин А.А. КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ АЛГЕБР СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ // Молодежный научный форум: Естественные и медицинские науки: электр. сб. ст. по мат. XXIV междунар. студ. науч.-практ. конф. № 5(23). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_nature/5(23).pdf (дата обращения: 29.03.2024)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ АЛГЕБР СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Белоглазов Николай Викторович
студент Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского (ОмГУ), РФ, г. Омск
Мячин Артем Андреевич
студент Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского (ОмГУ), РФ, г. Омск
Магазев Алексей Анатольевич
научный руководитель, канд. физ.-мат. наук, доц. Омского государственного технического университета (ОмГТУ), РФ, г. Омск
 

 

В настоящей работе рассматривается уравнение Клейна-Гордона для заряженной массивной частицы во внешнем электромагнитном поле. Так как это уравнение не решается в общем случае, предлагается построить операторы симметрии для этого уравнения. Для этого строятся генераторы алгебры симметрии, затем находится 2-форма электромагнитного поля, с помощью которой можно построить операторы симметрии. В заключении работы мы анализируем полученную алгебру операторов симметрии уравнения Клейна-Гордона во внешнем электромагнитном поле и сравниваем ее с алгеброй Пуанкаре — алгеброй симметрии уравнения Клейна-Гордона для свободной заряженной частицы.

Рассмотрим уравнение Клейна-Гордона для свободной заряженной частицы массой :

                                                 (1)

где:  — оператор Гамильтона;

 — волновая функция частицы;

 — ковариантный метрический тензор пространства-времени Минковского.

Операторы симметрии первого порядка  уравнения (1) удовлетворяют следующему коммутационному соотношению [1]:

                                                                       (2)

Известно, что такие операторы симметрии образуют алгебру Ли  группы Пуанкаре со следующими генераторами:

                                                  (3)

где:  — генераторы сдвигов;

 — генераторы вращений.

Во внешнем электромагнитном поле с потенциалом  уравнение (1) принимает вид:

                                                (4)

где: ;

 — заряд частицы.

Будем рассматривать операторы симметрии уравнения (4) в виде:

                                                       (5)

где:  — неизвестные функции.

Учитывая потенциал внешнего поля , найдем вид функций .

Операторы симметрии (5) удовлетворяют следующему коммутационному соотношению:

                                                                       (6)

Условие (6) равносильно системе уравнений:

                                                                  (7)

где:  — замкнутая 2-форма внешнего электромагнитного поля;

 — производная Ли вдоль векторного поля ;

 — оператор внутреннего произведения.

Уравнения (7) также приведены в работе [2], но структура алгебры операторов симметрии в этой работе не изучается.

Решение первого уравнения системы (7) — это вектора Киллинга вида (3). Отберем из них те векторы, которые сохраняют 2-форму  внешнего электромагнитного поля, то есть удовлетворяющие условию:

                                                                             (8)

Множество таких векторов образует некоторую подалгебру  в алгебре .

Решая второе уравнение системы (7) с полученными векторами , находим:

                                                                        (9)

Интеграл в (9) корректен в силу условия (8).

Используя найденные функции  строим операторы симметрии первого порядка уравнения Клейна-Гордона согласно (5). Данные операторы образуют некоторую алгебру, в общем случае отличную от алгебры Пуанкаре .

Изучим структуру алгебры . Коммутатор  и  можно записать как

                                                        (10)

где:  — структурные константы алгебры ;

 имеет вид:

                                                          (11)

Можно показать, что  образует 2-коцикл алгебры Ли  [3]. Видно, что в общем случае алгебра  неизоморфна алгебре .

Если найдутся постоянные  такие, что

                                                                      (12)

тогда

                                                      (13)

Таким образом новые операторы симметрии

                                                                  (14)

образуют алгебру Ли изоморфную алгебре :

                                                 (15)

Коцикл  вида (12) называется тривиальным.

Из (15) нетрудно заметить, что в случае тривиального коцикла  «включение» внешнего поля не влияет на структуру алгебры операторов симметрии.

Для иллюстрации приведенного выше алгоритма рассмотрим трехмерную подалгебру  алгебры Пуанкаре  со следующими коммутационными соотношениями:

                                                   (16)

Рассмотрим уравнение (4) с потенциалом внешнего электромагнитного поля

                                                          (17)

где:  — произвольная функция;

 — произвольная постоянная.

Данному потенциалу соответствует 2-форма

Решая первое уравнение системы (7) совместно с условием (8), получаем векторы Киллинга:

                                               (19)

Тем самым, найдены искомые функции

Используя найденные векторы Киллинга, находим следующие функции :

                                                 (20)

                                                               (21)

                                                             (22)

Теперь мы можем построить операторы симметрии уравнения Клейна-Гордона во внешнем электромагнитном поле:

                                                   (23)

                                                              (24)

                                                                       (25)

Запишем ненулевые коммутаторы операторов симметрии (23) — (25), учитывая структурные константы (17) алгебры :

                                                          26)

                                                         (27)

                                                             (28)

Из (26) — (28) находим коцикл, учитывая свойство кососимметричности :

                                                          (29)

Поскольку  то невозможно найти такие величины , что

                                      (30)

и, следовательно, 2-коцикл (29) является нетривиальным. Операторы (23) — (25) образуют алгебру симметрии неизоморфную исходной подалгебре  уравнения Клейна-Гордона (1).

В настоящей работе были построены операторы симметрии уравнения Клейна-Гордона для заряженной массивной частицы в электромагнитном поле. Выяснилось, что алгебра операторов симметрии данного уравнения в общем случае неизоморфна алгебре Пуанкаре, образованной операторами симметрии уравнения Клейна-Гордона для свободной частицы. Сохранение симметрий уравнения при «включении» внешнего поля определяется тривиальностью соответствующего 2-коцикла. Для всех трехмерных подалгебр алгебры Пуанкаре, в соответствие с изложенным в настоящей работе алгоритмом, были построены операторы симметрии первого порядка, приведен пример их вычисления для одной из подалгебр.

 

Список литературы:
1.    Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. — 1990.
2.    Van Holten J.W. Covariant hamiltonian dynamics // Physical Review D. — 2007. — Т. 75. — № 2. — С. 025027.
3.    Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. — 1981.