КЛАССИФИКАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ АЛГЕБР СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

В настоящей работе рассматривается уравнение Клейна-Гордона для заряженной массивной частицы во внешнем электромагнитном поле. Так как это уравнение не решается в общем случае, предлагается построить операторы симметрии для этого уравнения. Для этого строятся генераторы алгебры симметрии, затем находится 2-форма электромагнитного поля, с помощью которой можно построить операторы симметрии. В заключении работы мы анализируем полученную алгебру операторов симметрии уравнения Клейна-Гордона во внешнем электромагнитном поле и сравниваем ее с алгеброй Пуанкаре — алгеброй симметрии уравнения Клейна-Гордона для свободной заряженной частицы.

Рассмотрим уравнение Клейна-Гордона для свободной заряженной частицы массой :

                                                 (1)

где:  — оператор Гамильтона;

 — волновая функция частицы;

 — ковариантный метрический тензор пространства-времени Минковского.

Операторы симметрии первого порядка  уравнения (1) удовлетворяют следующему коммутационному соотношению [1]:

                                                                       (2)

Известно, что такие операторы симметрии образуют алгебру Ли  группы Пуанкаре со следующими генераторами:

                                                  (3)

где:  — генераторы сдвигов;

 — генераторы вращений.

Во внешнем электромагнитном поле с потенциалом  уравнение (1) принимает вид:

                                                (4)

где: ;

 — заряд частицы.

Будем рассматривать операторы симметрии уравнения (4) в виде:

                                                       (5)

где:  — неизвестные функции.

Учитывая потенциал внешнего поля , найдем вид функций .

Операторы симметрии (5) удовлетворяют следующему коммутационному соотношению:

                                                                       (6)

Условие (6) равносильно системе уравнений:

                                                                  (7)

где:  — замкнутая 2-форма внешнего электромагнитного поля;

 — производная Ли вдоль векторного поля ;

 — оператор внутреннего произведения.

Уравнения (7) также приведены в работе [2], но структура алгебры операторов симметрии в этой работе не изучается.

Решение первого уравнения системы (7) — это вектора Киллинга вида (3). Отберем из них те векторы, которые сохраняют 2-форму  внешнего электромагнитного поля, то есть удовлетворяющие условию:

                                                                             (8)

Множество таких векторов образует некоторую подалгебру  в алгебре .

Решая второе уравнение системы (7) с полученными векторами , находим:

                                                                        (9)

Интеграл в (9) корректен в силу условия (8).

Используя найденные функции  строим операторы симметрии первого порядка уравнения Клейна-Гордона согласно (5). Данные операторы образуют некоторую алгебру, в общем случае отличную от алгебры Пуанкаре .

Изучим структуру алгебры . Коммутатор  и  можно записать как

                                                        (10)

где:  — структурные константы алгебры ;

 имеет вид:

                                                          (11)

Можно показать, что  образует 2-коцикл алгебры Ли  [3]. Видно, что в общем случае алгебра  неизоморфна алгебре .

Если найдутся постоянные  такие, что

                                                                      (12)

тогда

                                                      (13)

Таким образом новые операторы симметрии

                                                                  (14)

образуют алгебру Ли изоморфную алгебре :

                                                 (15)

Коцикл  вида (12) называется тривиальным.

Из (15) нетрудно заметить, что в случае тривиального коцикла  «включение» внешнего поля не влияет на структуру алгебры операторов симметрии.

Для иллюстрации приведенного выше алгоритма рассмотрим трехмерную подалгебру  алгебры Пуанкаре  со следующими коммутационными соотношениями:

                                                   (16)

Рассмотрим уравнение (4) с потенциалом внешнего электромагнитного поля

                                                          (17)

где:  — произвольная функция;

 — произвольная постоянная.

Данному потенциалу соответствует 2-форма

Решая первое уравнение системы (7) совместно с условием (8), получаем векторы Киллинга:

                                               (19)

Тем самым, найдены искомые функции

Используя найденные векторы Киллинга, находим следующие функции :

                                                 (20)

                                                               (21)

                                                             (22)

Теперь мы можем построить операторы симметрии уравнения Клейна-Гордона во внешнем электромагнитном поле:

                                                   (23)

                                                              (24)

                                                                       (25)

Запишем ненулевые коммутаторы операторов симметрии (23) — (25), учитывая структурные константы (17) алгебры :

                                                          26)

                                                         (27)

                                                             (28)

Из (26) — (28) находим коцикл, учитывая свойство кососимметричности :

                                                          (29)

Поскольку  то невозможно найти такие величины , что

                                      (30)

и, следовательно, 2-коцикл (29) является нетривиальным. Операторы (23) — (25) образуют алгебру симметрии неизоморфную исходной подалгебре  уравнения Клейна-Гордона (1).

В настоящей работе были построены операторы симметрии уравнения Клейна-Гордона для заряженной массивной частицы в электромагнитном поле. Выяснилось, что алгебра операторов симметрии данного уравнения в общем случае неизоморфна алгебре Пуанкаре, образованной операторами симметрии уравнения Клейна-Гордона для свободной частицы. Сохранение симметрий уравнения при «включении» внешнего поля определяется тривиальностью соответствующего 2-коцикла. Для всех трехмерных подалгебр алгебры Пуанкаре, в соответствие с изложенным в настоящей работе алгоритмом, были построены операторы симметрии первого порядка, приведен пример их вычисления для одной из подалгебр.

Список литературы:
1.    Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики. — 1990.
2.    Van Holten J.W. Covariant hamiltonian dynamics // Physical Review D. — 2007. — Т. 75. — № 2. — С. 025027.
3.    Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Ли. — 1981.