ВЕРОЯТНОСТНЫЙ РАСЧЕТ ЛИНЕЙНОГО РАЗМЕРА СТЕРЖНЕВОГО КОРНЯ В ПОЧВЕ С МЕХАНИЧЕСКИМИ ПРЕПЯТСТВИЯМИ

PROBABILISTIC CALCULATION OF A TAPROOT LINEAR SIZE IN SOILS WITH MECHANICAL OBSTACLES

Ekaterina Gergenova

9th grade student of MBOU gymnasium No.1, Russia, Irkutsk

Michael Perfileev

Scientific adviser, PhD in mathematics, Doctor of International Academy of Natural History, Russia, Irkutsk

Аннотация. Данная работа относится к области математической биологии и посвящена вероятностной оценке линейного размера корня (т. е. длины отрезка, соединяющего начало и конец корня), растущего в неоднородной почве с множеством хаотично распределенных механических препятствий. Математическое моделирование проведено для случая стержневой корневой системы (главного корня для двудольных или боковых корней для деревьев). При помощи математического аппарата в работе выведена формула для оценки линейного размера корня.

Abstract. This work pertains to the field of mathematical biology and is devoted to the probabilistic assessment of the linear size of a root (i.e. the length of a segment connecting the beginning and the end of the root) growing in heterogeneous soil with many randomly distributed mechanical obstacles. Mathematical modeling is carried out for the case of a taproot system (the main root for dicotyledons or lateral roots for trees). Using mathematical apparatus, a formula for assessing the linear size of the root is derived in the work.

Ключевые слова: корень растения, стержневая корневая система, теорема о среднем, векторы, арифметическая прогрессия

Keywords: plant root, taproot, mean value theorem, vectors, arithmetic progression

Введение

 Корнем называют вегетативный орган высших сосудистых растений (как правило, подземный), способный к неограниченному росту в длину и обладающий положительным геотропизмом (то есть стремлением к росту сонаправленно с ускорением свободного падения Земли). Помимо основного корня растения могут имеют боковые и придаточные корни, а совокупность всех корней называют корневой системой растения. Корень растения выполняет множество функций: механическое закрепление растения в почве; откладывание питательных веществ; всасывание и транспорт воды и минеральных солей; вегетативное размножение; осуществление симбиотического взаимодействия с корнями других растений, грибами и микроорганизмами; синтез биологически активных соединений;

 специальные функции (корни-присоски, воздушные корни, ходульные корни и др.). Корневую систему подразделяют на стержневую и мочковатую.

 В стержневой корневой системе главный корень особо выделяется толщиной, что характерно для двудольных (стержневая корневая система также может быть ветвистой, состоящей из равноценных боковых корней - это характерно для деревьев). Мочковатая корневая система образована придаточными корнями (характерно для однодольных). Сравнивая эти два типа корневых систем, можно заметить, что стержневая корневая система глубже проникает в почву, чем мочковатая, а мочковатая система образует более густую сеть, чем стержневая [1], [2].

При прорастании в неоднородную почву с механическими препятствиями стержневой корень способен огибать их. Это хорошо заметно при прорастании корней деревьев через неплотную каменную кладку (фото 1) или при их росте вдоль щелей между тротуарными плитками (фото 2). При этом размер корня, вычисленный вдоль прямой линии, меньше размера корня вдоль кривой (то есть меньше длины траектории его роста).

Целью данной работы является математическая оценка размера стержневого корня, вычисленная вдоль прямой линии (т.е. речь идёт о длине отрезка, соединяющего начало и конец корня) в неоднородной почве со случайно распределенными механическими препятствиями. В качестве методов в работе использованы элементы теории вероятностей, геометрии векторов и математического анализа.     

Рисунок 1. Корни дерева приспособились к каменной кладке

Рисунок 2. Корни дерева скопировали узоры тротуарной плитки

Вероятностный расчет линейного размера стержневого корня

Проведем вероятностную оценку линейного размера корня (главного или бокового для случая отсутствия главного) стержневой корневой системы в неоднородной почве с препятствиями, распределенными случайным образом. Под его линейным размером будем понимать длину отрезка, соединяющего начало и конец корня.

Пусть l – длина элементарного звена корня (под звеном будем понимать среднее расстояние, на которое корень прорастает в однородной среде, пока не встретит препятствие), x – расстояние, измеренное вдоль прямой линии от начала до конца корня. Тогда радиус-векторы, соединяющие начало первого звена с n-ым и n+1-ым по счету звеньями, связаны соотношением

 ,                                                                                                             (1)

что является тривиальным.

Возведем обе части выражения (1) в квадрат:

 .                                                                                                      (2)

Теперь усредним левую часть и все слагаемые правой части равенства (2) :

 .                                                                                                (3)

Согласно формуле скалярного произведения векторов [3] второе слагаемое в правой части уравнения (3) можно записать в форме

 ,                                                                                                 (4)

где  - случайный угол между векторами  и  .

При своем росте корень может отклоняться от вертикального направления вниз на угол  , находящийся в диапазоне от  до  радиан. Среднее значение косинуса найдем по теореме о среднем значении функции на отрезке [4]

 .                                                                                             (5)

Согласно формуле Ньютона-Лейбница [5]

 .                                                                                       (6)

Тогда равенство (3) запишется в виде

 ;                                                                                                (7)

 .                                                                                                (8)

(При записи равенства (8) учтено, что математическое ожидание постоянной величины равно ей самой [6] ).

Так как значение l мало по сравнению с размерами всего корня, то величину  можно заменить на  практически без потерь точности вычислений, тогда

 .                                                                                                 (9)

С достаточно хорошей точностью  ;  , откуда

 ;                                                                                                  (10)

 .                                                                                           (11)

Рекуррентное соотношение (11) является арифметической прогрессией [7] с первым членом  и разностью  . Тогда формула n-го члена прогрессии

 .                                                                                                  (12)

Так как  , то математическое ожидание длины размера вдоль прямой для корня

 ,                                                                                                    (13)

т. е.

 .                                                                           (14)

При больших значениях n слагаемым 0,36338 в скобках можно пренебречь, тогда формула (14) примет вид

 .                                                                                              (15)

(Т.е. 0,64 доля от максимально возможного линейного размера корня при отсутствии препятствий).

Заключение

Таким образом, в данной работе при помощи методов теории вероятностей, геометрии векторов и математического анализа проведена оценка линейного размера корня для стержневой корневой системы, растущего в субстрате с механическими препятствиями. Показано, что длина отрезка, соединяющего начало и конец корня, оценивается как 0,64 от размеров корня, растущего в однородной среде без препятствий.