Теоретические аспекты формирования математических понятий

Понятие математических понятий

Процесс образования на современном этапе понимается не просто как усвоение знаний, умений и навыков, но и как процесс развития личности. Система образования сегодня находит свое отражение в целенаправленной организации и формировании у младших школьников умения учиться. Учение не сводится только к усвоению предметного содержания, но и понимается как процесс порождения смыслов. Изменения, происходящие в современной системе начального образования, определяют требования к результатам образования: личностным, метапредметным и предметным. Научные понятия выступают продуктом метапредметных и предметных результатов. Сложность формирования математических понятий в начальной школе состоит в том, что именно математические понятия имеют высокую степень абстракции. Возрастные особенности младших школьников, отсутствие у них логической подготовки ограничивают возможности младших школьников по усвоению математических понятий. Перестройка процесса формирования математических понятий требует от учителей начальных классов понимания теоретических и научно-методических подходов к процессу формирования научных понятий.

Понятие – это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира.

Н.С. Подходова выделяет в процессе формирования понятия пять этапов: перцепт, представление, предпонятие, понятие, система понятий [12]. Она считает предпонятия (термин Л.С. Выготского) основой понятий, которые закладываются в 1-6 классах. Указанные этапы в научных исследованиях рассматривают как уровни овладения понятием.

В младшем школьном возрасте любое математическое понятие формируется на уровне предпонятия, что и является базой для дальнейшего формирования понятий. Критериями сформированности понятий в начальной школе Н.С. Подходова указывает следующие показатели:

• овладение объемом понятий;
• наличие широкого запаса признаков, существенных для конкретного понятия (содержание понятия) [12].

Процесс формирования понятий представляет собой специально организованную работу, направленную на различные составляющие понятийных структур. К ним относят:

1. подключение чувственно-сенсорных впечатлений учащихся;
2. обратимые переводы информации с языка знаков и символов на язык образов;
3. использование разнообразных познавательных логических действий (сравнение, анализ, синтез, обобщение);
4. уяснение связей (отношений) между понятиями как средства формирования понятий.

Психолого-педагогические и методико-математические исследования указывают, что качество понятийных структур тесно связано с мерой участия в их формировании чувственно-сенсорных впечатлений. В работах С.П. Баранова, неоднократно поднимался вопрос о необходимости включения элемента чувственного непосредственно в структуру мысли ученика, слияния восприятия с мышлением. По мнению С.П. Баранова, формирование понятия должно сопровождаться возникновением у детей такой совокупности образов, которая по количеству дает возможность обобщенно представить те стороны окружающего мира, которые характеризуют данное понятие, а по качеству – наиболее приближают познание к отражению предметов и явлений в естественных условиях их существования [14].

Неслучайно на первом этапе формирования понятия числа осуществляется процесс установления общего свойства равных по количеству элементов множеств на основе предметной наглядности.

Формирование математических предпонятий и понятий невозможно в современной методике без действия моделирования, включающего в себя перевод информации с языка знаков и символов на язык образов и наоборот.

Одним из путей введения математических понятий является метод моделирования. С помощью модели можно дать представления об оригинале, так как именно модель выполняет функции замещения, представления, интерпретации и исследования.

В.Г. Болтянский указывает на то, что модель дает не просто возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, она позволяет создать образ его наиболее существенных свойств, отраженных в модели. Все остальные несущественные свойства при разработке модели отбрасываются. Таким образом, у детей создается обобщенный наглядный образ моделируемого объекта [16]. Формирование понятия числа в начальной школе невозможно без использования моделирования.

А.В. Белошистая выделает следующие виды моделей [17]:

1. вещественные модели;
2. графические модели;
3. Схематические модели.

К познавательным логическим действиям, направленным на формирование математических понятий, исследователи относят:

• действие распознавания объекта,
• сравнение, классификация, обобщение,
• подведение под понятие и выведение следствий.

Итак, использование основных познавательных логических действий является средством формирования математических понятий.

Объем и содержание математических понятий

Способы введения математических понятий на начальном этапе изучения математики:

1. первое знакомство с математическими понятиями в начальных классах школы фиксируется с помощью термина и символа, без описания или определения понятия. Например, фигуры треугольник, квадрат, прямоугольник - еще в детском саду. Термин «меньше» и символ 2< 9; термин «сложение» и символ «+» и т.д.;
2. появляются первые определения (2 кл.) - «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением»;
3. некоторые понятия вводятся только с помощью термина (например, год, неделя, час, минута и др.);
4. описательное введение понятий (нумерация в пределах тысячи, меры длины);
5. некоторые понятия определяются генетически (окружность, 1 м - это квадрат со стороной 1 м).

Велика роль пропедевтики алгебраического и геометрического материала, особенно в 5-6 классах, где наряду с систематическим курсом арифметики изучаются начала алгебры и геометрии. Например, в учебнике Латотина Л.А., Чеботаревского Б.Д. «Математика 4»:

Геометрические понятия - окружность, круг, угол, смежные и вертикальные углы, прямоугольный параллелепипед, объем;

Алгебраические понятия - уравнение, выражение и его значение.

Таким образом, в курсе математики ведется подготовка к изучению курсов алгебры и геометрии. Но не только на уроках математики, возможна пропедевтика и в других курсах, например, физики - понятие производной (мгновенная скорость), черчения - изображение пространственных фигур в стереометрии и др.

В отдельных случаях, когда изучение понятия представляет собой существенные трудности, период первоначального ознакомления с понятием растягивается во времени, на протяжении которого учащиеся многократно сталкиваются с понятием, постепенно расширяя круг представлений о нем. Например, одно из важнейших понятий современного школьного курса математики - функция. Усвоение этого понятия возможно лишь при условии перехода от статического к диалектическому мышлению, что совершается не вдруг. Само понятие функция вводится в седьмом классе. Но в пятом и шестом классах сознание учащихся готовится к восприятию этого понятия. В качестве пропедевтики понятия функция в учебниках пятого и шестого классов рассматриваются различные упражнения. Функция как зависимость, закон соответствия, соответствие между отдельными элементами некоторых множеств проявляют себя в таких упражнениях, как составление выражений, отыскание значений выражения в зависимости от значений параметров, входящих в него. Функциями являются меры длины, площади, объема, функциональным является соответствия между точками координатного луча и координатной прямой и числами. Функциональной пропедевтикой является изучение темы

«Координатная плоскость».

В практике решения задач при оперировании понятиями и их определениями актуальными являются умения:

1. подведение под определение;
2. подведение под понятие;
3. выделение «зоны поиска»;
4. выведение следствий из определения.

Названные умения можно формировать в рамках приемов умственной деятельности - совокупности мыслительных операций, направленных на решение задач определенного типа.

Структура приема подведения под определение зависит от логического строения определения, т. е. от того, каким образом, конъюнктивно или дизъюнктивно, связаны существенные свойства в определении.

Рассмотрим несколько определений.

1. Целым выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.
2. Целые и дробные выражения называются рациональными.
3. Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

Этапы формирования математических понятий

Формирование понятий – это длительный и сложный процесс, которому уделяется большое внимание в математическом образовании младших школьников. Полноценное усвоение понятий в начальных классах является основой интеллектуального и общего психического развития ребенка. По мнению Л.С. Выготского, понятия выступают для ученика элементами социального опыта, как значения, выработанные в культуре [1]. Обучающиеся должны  открыть  эти  значения  для  себя  и сделать их частью интеллекта и собственного сознания. Особенность этого процесса состоит в выработке у детей способности «идти» от конкретного к более общему, а также и в обратном направлении.

Еще К.Д. Ушинский в своих трудах рассматривал этапы формирования научных понятий. По его мнению, этот процесс начинается в том случае, если ребенок получает достаточное количество представлений об изучаемых явлениях [2]. Чувственное восприятие внешнего мира становится первым этапом формирования понятий. Великий русский педагог советовал учителям развивать у детей способность наблюдать, обогащать детей «полными, яркими, верными образами».

На втором этапе происходит переработка чувственных образов путем их сравнения, установления связей и отношений между ними. Воспринятый материал в результате такой внутренней работы систематизируется, обобщается, из разрозненных фактов выделяются существенные признаки, которые и составляют понятие. Всякое понятие обозначается словом. За каждым «словом скрывается целое творение, стоившее нам продолжительного труда», пишет К.Д. Ушинский.

На этом процесс формирования понятий не заканчивается. К.Д. Ушинский считал, что понятие, сообщаемое ученикам, не может быть конечной целью учения; «не само знание, а идея, развиваемая в душе дитяти усвоением того или другого знания, – вот что должно составлять зерно, сердцевину, последнюю цель таких занятий» [2].

Процесс формирования понятий рассматривался также в отечественной и зарубежной психолого-педагогической науке (Л.С. Выготский [1], П.Я. Гальперин [3, 4], В.В. Давыдов [5], Н.А. Менчинская [6], Л.В. Занков [7], Д.Б. Эльконин [8], Ж. Пиаже [9] и др.). Понятие является отражением наиболее существенных признаков предмета и образуется на основе представленой путем различной степени абстракции.

Представление или образ выражают в большей степени единичное, а понятие – общее. При этом понятие и образ не просто сосуществуют и сопутствуют, они взаимосвязаны, по существу. Функции образов не исчерпываются тем, что они служат необходимым опорным материалом. В ходе обучения, под влиянием сформированных понятий, возникают новые, вторичные образы, которые участвуют в познавательном процессе (М.С. Шехтер [10], И.С. Якиманская [11]). В отличие от концепции «гештальта» эта гипотеза состоит в том, что целостные образы формируются лишь после стадии анализа объектов, выделения их существенных элементов. Речь идет о «постаналитических» целостных образах.

Важно отметить связь понятия, с одной стороны, с представлением и образом, а с другой – со словом. Между понятием и словом существуют сложные взаимоотношения. Понятие обозначается словом и вне слова существовать не может, слово – его материальная основа. Слово же, являясь необходимым условием и средством образования и существования понятия, не может существовать без понятия, т.е. быть «пустой оболочкой». Таким образом, слово и понятие органически взаимосвязаны. С другой стороны, исследования, проведенные под руководством Н.А. Менчинской, показали, что словесное определение понятия не означает полное владение им [6]. В психолого- педагогических исследованиях указывается, что ребенок может овладеть понятием только в результате собственной деятельности. Знание существенных признаков понятий может стать элементом собственного интеллекта ребенка при условии, если эти существенные признаки будут выступать ориентирами познавательной деятельности и будут участвовать в решении задач, поставленных перед детьми в учебно-познавательной деятельности.