ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ ВОКРУГ ОСИ ОРДИНАТ С ПОМОЩЬЮ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Аннотация. Статья направлена на изучение способов вычисления объемов тел вращения плоских фигур вокруг оси ординат. Объемы тел вращения, как известно, вычисляются с применением двойного или тройного интегралов. В данной статье предлагается вычислить объем тела вращения вокруг оси ординат лишь с помощью определенного интеграла.

Ключевые слова: объем тела вращения; цилиндрические оболочки; кратный и определенный интегралы.

Актуальность исследования заключается в насущной необходимости определения объемов тел вращения плоских фигур вокруг оси ординат. Целью исследования является изучение наиболее экономичного метода вычисления объемов.

Пусть  – область, ограниченная сверху графиком функции , сни-зу осью , с двух сторон прямыми , . Требуется определить объем  тела вращения , получаемого вращением области  вокруг оси .

Рисунок 1. Область R и тело вращения этой области вокруг оси 

Объем тела, получающегося при вращении области R вокруг оси , вычисляется с помощью определенного интеграла [1-3]:

Объем тела, получающегося при вращении области R вокруг оси , вычисляется с помощью кратных интегралов [1-3] и определенного интеграла [4]:

Цилиндрическая оболочка – это твердое тело, окруженное двумя концентрическими правильными круглыми цилиндрами.

Рисунок 2. Цилиндрическая оболочка

Как известно, объем цилиндрической оболочки с внутренним радиусом  и внешним радиусом  и высотой  вычисляется так

Основная идея определения указанного объема состоит в разделении отрезка  на  внутренних интервалов. Тогда область  делится соответственно на следующие  полос: , , …, . При вращении области  вокруг оси  эти полосы образуют трубообразные тела , , …, , лежащие одна внутри другой и все они вместе образуют тело .

Рисунок 3. Тела вращений полос области  вокруг оси 

Объем тела вращения  определяется сложением объемов трубообразных твердых тел , , …, :

Обычно внешние поверхности этих трубообразных тел   сильно изогнуты и поэтому не существуют простых формул для определения объемов  . Если же полосы достаточно тонкие, то можно аппроксимировать каждую полосу прямоугольником. При вращении каждой полосы вокруг оси  образуется цилиндрическая оболочка и ее объем приблизительно равен объему трубы, образованной прямоугольником.

Рисунок 4. Аппроксимация полосы области  прямоугольником

Складывая объемы цилиндрических оболочек определяют сумму Римана, которая аппроксимирует искомый объем , и вычисляя предел сумм Римана получают интеграл, который точно вычисляет значение объема . Для осуществления данной идеи считают, что -тая полоса тянется от точки  до точки , а ширина такой полосы равна . Пусть  - средняя точка отрезка . При вращении прямоугольника с высотой  вокруг оси  образуется цилиндрическая оболочка со средним радиусом , с толщиной  и высотой .

Рисунок 5. Образование цилиндрической оболочки

Объем частной цилиндрической оболочки определяется формулой:

Сложив объемы всех  цилиндрических оболочек, получим следующую сумму Римана,  которая аппроксимирует объем  тела вращения:

Если перейти к пределу при неограниченном увеличении числа интервалов  и уменьшении ширины всех интервалов до нуля, то получится определенный интеграл:

Заключение. Объем  тела, которое получается при вращении области  вокруг оси , вычисляется с помощью определенного интеграла (1) [4, с. 434].

Далее, на примерах 1-5 показывается экономичность вычисления объемов тел вращения вокруг оси ординат помощью формулы (1).

Пример 1. С помощью цилиндрических оболочков определите объем тела, которое получается при вращении области, ограниченной заданными прямыми , , , вокруг оси .

Решение. Объем тела вращения вычисляется формулой (1):

Рисунок 6. Треугольная область для вращения вокруг оси 

Проверка. , где  – объем цилиндра с радиусом  круга основания и высотой ,  – объем конуса, находящегося внутри данного цилиндра, с радиусом  круга основания и высотой . Тогда объем цилиндра

и объем конуса

или

Поэтому искомый объем тела вращения

т.е. результат (2), найденный с помощью цилиндрических оболочек, верен.

Пример 2. Определите с помощью цилиндрических оболочек объем тела вращения, получающегося вращением плоской области, ограниченной прямыми , 0, , , вокруг оси .

Решение. Объем такого тела вращения можно вычислить формулой (1):

Рисунок 7. Трапециодальная область для вращения вокруг оси 

Проверка. , где  – объем цилиндра с радиусом круга основания и высотой ,  – объем усеченного конуса внутри цилиндра с радиусами кругов основания ,  и высотой,  – объем внутреннего цилиндра с радиусом основания  и высотой . Следовательно, объем цилиндра

объем усеченного конуса

или

и объем внутреннего цилиндра

Поэтому объем тела вращения

то есть результат (3), найденный с помощью цилиндрических оболочек, верен.

Пример 3. Определите с помощью цилиндрических оболочек объем тела вращения области, ограниченной кривой   и прямыми ,  (см. рис. 8а).

Решение. Объем тела вращения вычисляется формулой (1):

Проверка. , где  – объем цилиндра с радиусом  и высотой ,  – объем внутреннего конусообразного тела с радиусом  круга основания сол и высотой . Следовательно, объем цилиндра

и объем конусообразного тела

Поэтому объем тела вращения

то есть результат (4), найденный с помощью цилиндрических оболочек, верен.

Пример 4. Определите с помощью цилиндрических оболочек объем тела вращения области, ограниченной кривой  и прямыми , , во-круг оси .

Решение. Объем тела вращения вычисляется формулой (2):

Рисунок 8. Параболическая область для вращения вокруг оси 

Проверка. , где  – объем цилиндра с радиусом  круга основания и высотой ,  – объем внутреннего конусообразного тела с радиусом  круга основания и высотой ,  – объем внутреннего цилиндра с радиусом  круга основания и высотой . Объем цилиндра

,

объем усеченного конусообразного тела

и объем внутреннего цилиндра

Поэтому объем тела вращения

то есть результат (5), найденный с помощью цилиндрических оболочек, верен.

Пример 5. Определите с помощью цилиндрических оболочек объем тела вращения фигуры, ограниченной прямой  и кривой , вокруг оси .

Решение. Объем тела вращения вычислятся формулой (1):

Рисунок 9. Лепестковая область для вращения вокруг оси