Статья:

РАСЧЁТ ВОЗРАСТАНИЯ ДЕНЕЖНОЙ СУММЫ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конференция: VII Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: общественные и экономические науки»

Секция: 11. Экономика

Выходные данные
Пупко Д.А., Шур В.А. РАСЧЁТ ВОЗРАСТАНИЯ ДЕНЕЖНОЙ СУММЫ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ // Молодежный научный форум: Общественные и экономические науки: электр. сб. ст. по мат. VII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 7(7). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_social/7(7).pdf (дата обращения: 19.08.2018)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 57 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

РАСЧЁТ ВОЗРАСТАНИЯ ДЕНЕЖНОЙ СУММЫ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пупко Демид Александрович
студент Самарского государственного экономического университета, РФ, г. Самара
Шур Владислав Андреевич
студент Самарского государственного экономического университета, РФ, г. Самара
Уфимцева Людмила Ивановна
научный руководитель, научный руководитель, к. физ.-мат. наук, профессор Самарского государственного экономического университета, РФ, г. Самара
Коновалова Мария Евгеньевна

 

 

Многие люди, так или иначе, хоть раз в жизни задавались вопросом о том, зачем им нужна математика. Кто-то из любопытства, кто-то пытался оправдать нежелание учить высшую математику, а кого-то ставит в недоумение уже сам факт того, что эта дисциплина входит в обязательную программу университетов и школ.

Современные студенты, даже обучающиеся в экономических ВУЗах, нередко спрашивают себя: «Для чего мне, человеку, будущая профессия которого будет связана в лучшем случае с применением самых элементарных математических расчетов, уметь производить все эти длинные и сложные вычисления, знать все эти математические методы?»

Да, для кого-то непросто будет проследить связь между математикой и другими социальными науками, и в особенности с экономикой. Что касается первых, то, в основном, математика играет здесь свою немаловажную роль в форме подсобной науки — математической статистики.

А вот в экономике математика используется не так уж и давно. Если быть точнее — с 1738 года, после создания и опубликования ученым Франсуа Кенэ первых экономических таблиц. Стоит также отметить, что математический аппарат широко использовал даже сам Карл Маркс (в моделях простого и расширенного воспроизводства и денежного обращения). А вот сама математическая школа политической экономии возникла аж спустя век — в 1838 году. Представителями этой школы были такие известные экономисты, как Леон Вальрас, Вильфредо Парето и Альфред Маршалл. Они впервые предприняли попытку использовать математический аппарат в исследовании механизма функционирования рынка.

Но не нужно думать, что математика применялась только экономистами, стоявшими у истоков. Даже наоборот. Сейчас взаимодействие математики и экономики за рубежом стало абсолютно обычным явлением. С использованием математического аппарата в экономике связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии (Джон Хикс, Роберт Солоу, Василий Леонтьев, Пол Самуэльсон и др.).

В настоящее время развитие макро- и микроэкономики, прикладных экономических дисциплин связано с более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики: математического программирования, теории игр, математической статистики, теории массового обслуживания и др., — а также прогресс в области информационных технологий, позволивших обрабатывать, хранить и передавать значительные массивы исходной информации (без этого внедрение математики в хозяйственную практику было бы невозможным).

В своей научной работе хотелось бы продемонстрировать реальную ценность этого важного предмета как для людей, получающих высшее образование по направлению «Экономика», так и для вообще всех интересующихся. В частности, рассмотреть ее на примере такой важной его части, как дифференциальные уравнения.

Но прежде чем перейти непосредственно к цифрам, формулам и вычислениям, стоит немного ознакомимся с теоретическими положениями этого информационного блока.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную «X», функцию этой переменной «Y» и ее производную.

Под решением же дифференциального уравнения (его еще называют интегралом) понимается функция, зависящая от «X» и произвольных постоянных, которая обращает уравнение в тождество и из которого получаются все решения уравнения при конкретно заданных постоянных.

Осталось ввести термин «Порядок дифференциального уравнения». Это порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Теперь можно приступить непосредственно к практическим примерам. Для большей наглядности возьмем не просто гипотетические, а реальные экономические задачи, которые встают перед людьми. Причем на разных уровнях — и микроэкономическом, и макроэкономическом. Иллюстрацией первого будет служить подсчет суммы, которая будет на счету человека, разместившего вклад в банке. А второго — демонстрация прямой взаимосвязи между государственным доходом и государственным долгом и вычисление общей суммы последнего.

Задача 1.

Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Под сложными процентами понимаются проценты, насчитываемые не только на первоначальную величину, но и на проценты, уже наращенные на неё за предыдущий срок. Этот момент очень важно учитывать при расчёте сумм с учетом капитализации. Пусть Y0 обозначает начальную денежную сумму, а Yx — денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

,

где x = 0, 1, 2, 3,... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

То есть,                                   

Если мы обозначим , то предыдущее равенство будет записываться следующим образом:

То есть при изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1-го порядка. Для последующего решения перепишем уравнение следующим образом:

Откуда .

Учитывая, что Y(0) = Y, то можно найти W: Y0=We0, откуда следует, что Y0=W, а значит и конечная формула имеет вид:

Рассмотрим практическое применение данной формулы на конкретном примере:

Возьмем усредненную сумму вклада в размере 100 000 рублей и рассчитаем, какое количество денег будет на счету вкладчика через два года. На данный момент разбег процентов по вкладам, предоставляемым коммерческими банками на территории России составляет от 8 до 11 процентов. Допустим, что ставка по нашему вкладу составляет 11 %. Тогда при подстановке в выведенную формулу получаем:

Т. е. за 2 года сумма была увеличена на 24 600 руб.

Задача 2.

Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

И пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q ). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

Проинтегрируем функцию относительно времени, за которое национальный доход возрастает и получим:

По основному свойству логарифмов мы получаем формулу вида:

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t.

при t = 0, Y0=eC и функция имеет следующий вид:

Подставляя Y во второе уравнение, получаем:

при t = 0,

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

 

Список литературы:

  1. Дифференциальные уравнения. Математика. Портал естественных наук. — [Электронный ресурс] — Режим доступа — URL: http://e-science.ru/math/theory/?t=599 (дата обращения 30.11.2013)
  2. Математика для экономистов. Задачник. Учебно-практическое пособие. / Под ред. Макаров С.И., Мищенко М.В. — М-Кнорус, 2008. — 360 с.
  3. Математические модели финансовых операций. Учебное пособие. / Под ред. С.И. Макаров, Б.П. Чупрынов — Самара, изд-во СГЭА 2005. — 136 с.
  4. Репин О.А., Уфимцева Л.И., Экономические задачи в общем курсе высшей математики. Методическая разработка для студентов 1 курса. — Куйбышев, 1984. — 24 с.