Исследование АЧХ и ФЧХ в зависимости от порядка фильтра Чебышева

Электрическим фильтром называется устройство, предназначенное для пропускания сигналов, частоты которых лежат в заданном диапазоне. Первая из полос представляет собой полосу пропускания, а вторая – полосу задерживания. Эффективность фильтра тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, т.е. чем больше возрастает затухание в полосе задерживания [3, c. 14].

В большинстве реализаций фильтров самым главным фактором является то, что неравномерность характеристики в полосе пропускания не должна достигать некоторой определенной величины. Фильтр Чебышева отвечает этому критерию, при этом допускается некоторая неравномерность характерности во всей полосе пропускания, но при этом сильно увеличивается острота ее излома [2, c. 161].

Амплитудно-частотная характеристика этого фильтра задается следующим соотношением: U_вых/U_вх =1/[1+ε²C_n²(ƒ/ƒ_c)]^1/2, где С_n – полином Чебышева первого рода степени n, а ε – константа, определяющая неравномерность характеристики в полосе пропускания [1, c. 23].

Для моделирования были выбраны фильтры нижних частот с характеристикой Чебышева 4-го и 5-го порядка.

Для того чтобы рассчитать значения элементов фильтра необходимо в схеме-прототипе, представленной на рисунке 1 каждую индуктивность – прототип α₁, α₃, α₅ заменить на реальную емкость C=α_i/2πf, где f — частота среза фильтра нижних частот; а каждую емкость-прототип заменить на реальную индуктивность L=α_i/2πf_. Прототипы емкости и индуктивности представлены в таблице 1 [3, c. 83].

Таблица 1.

Значения нормированных параметров

Рисунок 1. Схема – прототип

Сопротивление нагрузки R_н было выбрано 7 Ом. Частота среза – 5 кГц. В результате расчетов были получены схемы (рисунки 2 и 3) и значения элементов (таблица 2).

Рисунок 2. Схема ФНЧ 4-го порядка

Рисунок 3. Схема ФНЧ 5-го порядка

Таблица 2.

Рассчитанные значения элементов

Для моделирования работы фильтра была использована программная среда Multisim. Скриншоты собранных схем показаны на рисунке 4.

Рисунок 4. Скриншоты схем фильтра нижних частот 4-го, 5-го порядков

Данные модели позволяют оценить качество работы рассчитанных фильтров нижних частот, составив таблицу входных и выходных значений, а также по этим данным можно построить графики АЧХ и ФЧХ.

Для того чтобы зафиксировать значения для построения графиков АЧХ и ФЧХ используется плоттер Боде. Результаты измерений представлены в таблицах 3–4.

Таблица 3.

Результат измерений АЧХ фильтра 4-го порядка

Окончание таблицы 3

Таблица 4.

Результат измерений ФЧХ фильтра 4-го порядка

По таблицам 3–4 были построены графики сравнения АЧХ и ФЧХ:

Рисунок 5. Сравнительный график АЧХ фильтров

Для сравнения графиков АЧХ были выбраны 2 точки: а_н =0 Дб и а_в =4 Дб. Затем на пересечении графика и выбранных точек определены f_н, f_в4 и f_в5. Как видно из рисунка 9, переходная полоса фильтра 4-го порядка равна 2,75 кГц, а для фильтра 5-го порядка равна 2,5 кГц. Чем меньше значение переходной полосы – тем фильтр работает точнее. В данном случае ФНЧ 5-го порядка ненамного превосходит в работе ФНЧ 4-го порядка.

Рисунок 6. Сравнительный график ФЧХ фильтров

Из рисунка видно, что полоса пропускания становится более нелинейной при увеличении порядка фильтра. Обусловлено это колебательным видом АЧХ.

Можно сделать выводы о том, что:

1)  ФЧХ фильтров Чебышева высокого порядка хуже ФЧХ фильтров низкого порядка.

2)  Чем выше порядок фильтров Чебышева, тем лучше их АЧХ.

3)  Более высокий порядок фильтра усложняет схемную реализацию и вследствие этого повышает стоимость.

Таким образом, важен выбор минимально необходимого порядка фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям и задачам.