Статья:

Системы массового обслуживания. Решение типичных задач

Конференция: XLI Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: технические и математические науки»

Секция: Физико-математические науки

Выходные данные
Беспятых Е.А. Системы массового обслуживания. Решение типичных задач // Молодежный научный форум: Технические и математические науки: электр. сб. ст. по мат. XLI междунар. студ. науч.-практ. конф. № 1(41). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_tech/1(41).pdf (дата обращения: 19.08.2018)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

Системы массового обслуживания. Решение типичных задач

Беспятых Евгений Алексеевич
студент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, РФ, г. Пермь


 

Введение

В экономическом моделировании существует множество теорий, согласно которым экономисты и математики рассчитывают характеристики систем для принятия определенных решений. Одна из таких теорий – теория систем массового обслуживания.

Системой массового обслуживания называют систему, в которой, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования, заявки, транзакты) на выполнение каких-либо видов услуг, а с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов автоматами, работниками и т.п. (обслуживающими каналами, устройствами), имеющими ограниченные возможности обслуживания. Система массового обслуживания состоит из элементов: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслуживающий аппарат, канал обслуживания), а также выходящий потом требований.

В данной статье рассматриваются наиболее типичные задачи на расчет характеристик систем массового обслуживания.

Задача №1

Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока λ=0,95 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора t=1 мин. Определите вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы. Сколько телефонов должно работать параллельно, чтобы вероятность отказа была меньше 1/10?

Решение

Определим исходные данные. Интенсивность входящего потока указана в условии и равна 0,95 вызова в минуту (λ=0,95). Интенсивность потока обслуживания µ=1/t=1/1=1 заявка в минуту. Система может находиться в одном из состояний: (1) S0 – телефонная линия свободна; (2) S1 – телефонная линия занята. Поток заявок переводит систему из состояния S0 в состояние S1 с интенсивностью λ=0,95, из состояния S1 в S0 с интенсивностью µ=1. Построим граф состояний системы (Рис. 1).

 

Рисунок 1. Задача 1. Граф состояний системы

 

Определим характеристики работы СМО в предельном режиме.

 – вероятность того, что система свободна (телефонная линия свободна, заявок нет).

 – вероятность того, что заявка в системе (телефонная линия занята). Этот же показатель – вероятность отказала в обслуживании.

– относительная пропускная способность.

 – абсолютная пропускная способность. Среднее число заявок, обслуживаемых в минуту.

 – среднее время обслуживания заявки.

 – среднее время простоя канала (телефонной линии).

 – среднее время пребывания заявки в системе.

Теперь необходимо определить, сколько телефонов должно работать параллельно, чтобы вероятность отказа была меньше 1/10, т.е. определить количество каналов k для условия  .

Предположим, что k=2.

 – приведенная интенсивность входящего потока.

Вероятность отказа – 0,188 – больше, чем требовалось. Значит, двух каналов будет недостаточно для того, чтобы вероятность отказа была меньше 0,1. Попробуем предположить, что k=3, и подсчитать те же показатели.

Интерпретация результатов

Вероятность отказа при трех каналах равна 0,056<0,1, а значит, трех каналов будет достаточно для того, чтобы вероятность отказа была меньше 0,1.

Задача №2

В вычислительном центре работает 5 персональных компьютеров (ПК). Простейший поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность λ=10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты. Найдите вероятностные характеристики системы обслуживания (ВЦ).

Решение

Определим исходные данные. Интенсивность входящего потока λ=10 задач в час=10/60=1/6 в минуту. Среднее время обслуживания (решения задачи) t – 12 мин, значит интенсивность потока обслуживания . Число каналов n=5. Система имеет следующие состояния: (1) S0 – компьютеры свободны; (2) S1 – 1 компьютер занят, остальные свободны; (3) S2 – 2 компьютера заняты, остальные свободны; (4) S3 – 3 компьютера заняты, остальные свободны; (5) S4 – 4 компьютера заняты, остальной свободен; (6) S5 – все компьютеры заняты. Построим граф состояний (Рис. 2).

 

Рисунок 2. Задача 2. Граф состояний системы

 

Система переходит из любого левого состояния в следующее правое с интенсивностью 1/6. Интенсивность перехода из правого в левое состояние меняется в зависимости от состояния. Например, из состояния S2 (2 компьютера заняты) в S1 (один компьютер занят) система может перейти тогда, когда закончит работу либо второй, либо первый компьютер, то есть суммарная интенсивность их потоков обслуживания будет 2µ = 2/12.

Определим приведенную интенсивность входящего потока: .

.

Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга:

– вероятность отказа в обслуживании заявки.

 – относительная пропускная способность системы (ВЦ).

 – абсолютная пропускная способность системы (ВЦ).

 – среднее число занятых каналов.

Интерпретация результатов

Из вычисленных показателей видно, что в установившемся режиме работы системы в среднем будут заняты 2 канала (ПК) из 5, а остальные 3 будут простаивать. Вероятность отказа в обслуживании в среднем 3-4%, а значит, работу системы можно считать удовлетворительной.

Задача №3

На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности λ=4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может находиться не более 5 автомобилей. Определите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.

Решение

Определим исходные данные. Интенсивность входящего потока λ=4 машины в час=4/60=1/15 в минуту. Среднее время обслуживания t=17 мин, значит интенсивность потока обслуживания µ=1/t=1/17. Число каналов n=1. Число мест в очереди m=5.

Определим приведенную интенсивность входящего потока:

N = n+1 = 6 – очередь и обслуживаемый в данный момент клиент.

Вычислим вероятности нахождения заявок в системе:

 – вероятность отказа в обслуживании.

 – относительная пропускная способность системы (пункта техосмотра).

 – абсолютная пропускная способность системы.

 – среднее число занятых каналов.

Среднее число находящихся в системе заявок (в очереди и на обслуживании):

Среднее время пребывания заявки в системе:

Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

Интерпретация результатов

Таким образом, работу пункта техосмотра нельзя считать удовлетворительной, так как ему приходится отказывать в обслуживании автомобилей в среднем в 22,7% случаев, при этом в среднем клиентам будет приходиться находиться в очереди около 1,2 часа.

Задача №4

На промышленном предприятии решается вопрос о том, сколько потребуется механиков для работы в ремонтном цехе. Пусть предприятие имеет 10 машин, требующих ремонта с учетом числа ремонтирующихся. Отказы машин происходят с частотой λ=10 отк/час. Для устранения неисправности механику требуется в среднем t=3 мин. Распределение моментов возникновения отказов является пуассоновским, а продолжительность выполнения ремонтных работ распределена экспоненциально. Возможно организовать 4 или 6 рабочих мест в цехе для механиков предприятия. Необходимо выбрать наиболее эффективный вариант обеспечения ремонтного цеха рабочими местами для механиков.

Решение

Определим исходные данные. Интенсивность входящего потока λ=10 отк/час=10/60=1/6 в минуту. Интенсивность потока обслуживания µ=1/t=1/3.

N=10.

Рассмотрим вероятность отказа в обслуживании для n=4 и n=6 рабочих мест в цехе для механиков (n – число каналов обслуживания).

n=4

n=6

Интерпретация результатов

Таким образом, вероятность отказа в обслуживании практически равна нулю во втором случае (6 рабочих), поэтому если это принципиально, то лучше иметь 6 рабочих.