Статья:

Моделирование средствами символьной математики решения дробного интегрального уравнения прямыми методами

Конференция: XLVI Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: технические и математические науки»

Секция: Технические науки

Выходные данные
Спиридонова В.А. Моделирование средствами символьной математики решения дробного интегрального уравнения прямыми методами // Молодежный научный форум: Технические и математические науки: электр. сб. ст. по мат. XLVI междунар. студ. науч.-практ. конф. № 6(46). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_tech/6(46).pdf (дата обращения: 24.09.2018)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

Моделирование средствами символьной математики решения дробного интегрального уравнения прямыми методами

Спиридонова Виктория Александровна
студент, Казанский (Приволжский) федеральный университет, РФ, Республика Татарстан, г. Казань
Галимянов Анис Фуатович
научный руководитель, канд. физ.–мат. наук, доц., Казанский (Приволжский) федеральный университет, РФ, Республика Татарстан, г. Казань

 

В статье средствами символьной математики моделируется решение дробного интегрального уравнения, экспериментально показывается сходимость приближенного решения к точному.

Пусть X и Y произвольные линейные нормированные пространства, а  и  (=1, 2, …) их произвольные линейные подпространства конечной размерности.

Рассмотрим уравнения

  (1.1)

  (1.2)

где:  и  – аддитивные и однородные операторы, действующие из  в и из  в  соответственно.

Уравнение (1.2) при любом фиксированном эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений порядка  относительно коэффициентов разложения элемента  по базису пространства . Этим и можно объяснить причину замены нашего бесконечномерного уравнения (1.1) конечномерным уравнением (1.2).

Рассмотрим дробное интегральное уравнение с интегралом Вейля:

,

где: , дробный интеграл Вейля определяется из определения: . Оператор - вполне непрерывен и действует на функцию  следующим образом: . Подставляя в это уравнение значения  получим следующее уравнение:

 

Найдем для этого уравнения значение . Проводя необходимые вычисления, получим:

.

Далее решим исходное уравнение методом Бубнова – Галеркина. Приближенное значение будем искать в виде полинома . Функции  являются базисными функциями и имеют вид .

Подставляем приближенное значение  в исходное уравнение:

,

Неизвестные коэффициенты  определим из условий

,

где . Получаем СЛАУ n порядка относительно :

 

.

Решим эту систему для n=3:

Получим:  и .

Близость приближенного решения к точному можно оценить по изображению на графике (см. рис.) и по таблице (см. табл.).

 

Рисунок 1.

 

Таблица 1.

Разница приближенного значения функции от точного в точках

 

 

0

-1

0

1

 

0

-1

0

1

0

-1

0.41

0.05

-0.82

-0.11

 

0.83

-0.11

-0.82

0.05

0.41

0.13

0.41

1.05

0.82

1.11

 

0.83

0.89

0.82

0.95

0.41

1.13

 
Список литературы:
1. Горская Т.Ю. Обобщенный метод Бубнова – Галеркина для уранений с дробно – интегральным оператором / Т.Ю. Горская, А.Ф. Галимянов // Известия КГАСУ. – 2014. №4 (30). – С. 398–402.
2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688с.
3. Agachev J. R. and A. F. Galimyanov. On Justification of General Polynomial Projection Method for Solving Periodic Fractional Integral Equations// Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2015. – Vol. 36, №2. – P. 97–102.