УСТОЙЧИВОСТЬ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПОДЗЕМНОЙ ВЫРАБОТКИ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД

STABILITY OF HORIZONTAL UNDERGROUND WORKING OF CIRCULAR CROSS-SECTION WITH ELASTIC-PLASTIC PROPERTIES OF ROCK

Michael Zhuravkov

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Belarusian State University, Belarus, Minsk

Yuliya Zamzhitskaya-Chigareva

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Belarusian State University, Belarus, Minsk

Аннотация. Устойчивость подземных выработок рассматривается как сохранение геометрической формы подземной выработки под действием горного давления. Упругопластическая устойчивость связана с возможностью реализации пластического состояния в массиве горных породы в окрестности выработки. Область вблизи контура выработки является наиболее опасной с точки зрения потери устойчивости вследствие энергонасыщенности такой области и концентрации больших напряжений в ней. Реальные выработки имеют «неидеальные» поверхности с большими неровностями, которые являются дополнительными концентраторами напряжений. Обычно флуктуация геометрии контура выработки задается в виде некоторых флуктуирующих функции периодического или квазипериодического типа. При этом контур выработки потерявший устойчивость остаётся гладким и описывается дифференцируемыми функциями. В реальных условиях контуры выработок все же не являются гладкими. В работе рассмотрен контур, описываемый фрактальной функцией, типа функции Вейерштрасса. Вычислены напряжения, возникающие в окрестности выработки и представляющие собой сумму средних напряжений и среднеквадратичных отклонений флуктуаций напряжений. Пластичность описывается критерием типа теории течения.

Abstract. The stability of underground cavities is described as the preservation of the geometric shape of the underground cavities under rock pressure. Elastic-plastic stability is associated with the possibility of realization of plastic state in the rock mass in the vicinity of cavity. The area near the cavity contour is the most dangerous in terms of stability loss due to its energy saturation and concentration of high stresses therein. Real cavities have “non-ideal” surfaces with large irregularities, which are additional stress raisers. Usually, the fluctuation of the geometry of the cavity’s contour is defined as some fluctuating functions of periodic or quasi-periodic type. Herewith, the cavity's contour that has lost stability remains smooth and is described by differentiable functions. In real conditions, however, the cavity’s contours are not smooth. The paper considers a contour described by a Weierstrass fractal function. The stresses occurring in the vicinity of the cavity's contour, which are the sum of the average stresses and the standard deviations of the stress fluctuations, have been calculated. Plasticity is described by a flow theory type criterion.

Ключевые слова: упругопластическая устойчивость, фрактальный контур, напряжение, деформация, потеря устойчивости, гладкий контур выработки, критическая сила.

Keywords: elastic-plastic stability, fractal contour, stress, strain, loss of stability, smooth working contour, critical force.

Уравнения равновесия в цилиндрической системе координат с осью Z, совпадающей с осью цилиндрической выработки, имеют вид [1-7]:

,

                                                                                                      (1)

Предельное состояние выработки определяем условием пластичности вида:

.                                                                                                       (2)

Вследствие того, что выработка является концентратором напряжений, пластическая зона может возникать только в окрестности контура выработки.

В случае изотропной однородной среды и осесимметричного нагружения, граница между упругой и пластической зонами представляет собой окружность с центром, совпадающим с центром окружности радиуса , где D  – дисперсия шероховатости контура выработки,  

Пусть в рассматриваемом случае условие пластичности (2) имеет следующий вид [1−5]:

                                                                                          (3)

где – угол внутреннего трения породы, – коэффициент сцепления.

Ассоциированный закон течения для критерия (2) имеет вид:

  .                                                                                                          (4)

Полные напряжения и деформации складываются из упругих и пластических, которые обозначаем, соответственно, буквами e и .

Решение упругопластической задачи об устойчивости выработки в невозмущенном состоянии обозначаем индексом «0». 

                                                                                              (5)

                                                                                    (6)

где γ – плотность горной породы, h – глубина расположения выработки.

Под устойчивостью выработки в плоскости ее сечения понимаем потенциальную возможность существования контура, отличного от окружности 

С точки зрения такого определения, необходимо найти условия, при которых возможна бифуркация контура, т.е. может существовать смежная форма контура

 ,                                                                                                            (7)

где  – малый безразмерный параметр.

Рассмотрим случай флуктуаций контура в виде функции Вейерштрасса

                                                                                                (8)

где  а произведение  достаточно велико.

График функции Вейерштрасса представляет собой бесконечно изломанную, непрерывную, но негладкую линию, что соответствует природным объектам.

В соответствии с представлением (8) решения ищем в таком виде:

,

                                                                                                      (9)

где  – возмущения соответствующих величин. 

Для возмущенного состояния граничные условия представляем следующим образом:

 .                                                                                        (10)

При  все флуктуации стремятся к нулю. Это естественное условие ограниченности зоны влияния граничных условий. Считаем, что при достижении нагрузкой предельного значения в окрестности выработки появляется пластическая зона радиуса  и упругая зона при . Граница пластической зоны неизвестна, но на ней должны выполняться условия сопряжения:

   при .                                                                          (11) 

Известно [1-7], что устойчивость по линейному приближению при требует линеаризации нелинейных уравнений. В рассматриваемом случае это относится к условиям пластичности и ассоциированному закон течения. Возмущенное состояние в пластической области в линейном приближении определяется уравнениями, получаемыми из системы (1), (2):

                                                                               (12)

                                                                                                 (13)

                                                                                      (14)

Решения уравнений (12) - (14) записываем в виде:

                                                                             (15)

                                                                                                     (16)

где − безразмерный радиус пластичной зоны.

Константы  находятся из граничных условий.

Флуктуации напряжений и перемещений в упругой области могут быть представлены так:

,

                                                                                               (17)

                                                                                              (18)

Здесь  - произвольная постоянная, которая определяется из условий сопряжения на границе упругой и пластичной зон.

Считая, что в установившемся состоянии граница упругой зоны находится в равновесии, находим, что . Подставляя выражения для флуктуации напряжений и перемещений в упругой зоне (17), (18) и в пластической зоне (15), (16) в граничные условия (10) и в условия сопряжения (18), получаем алгебраическую систему четырех линейных однородных уравнений для определения произвольных постоянных 

Условие существования ненулевых решений для однородной системы сводится к условию равенства нулю определителя данной системы, откуда получаем нелинейное уравнение относительно :

                                                                                                             (19)

При   уравнение (19) является биквадратным. Физический смысл имеет корень 

Основные состояния в пластической и упругой областях определяются формулами (15)–(18). Из условия сопряжения на границе упругой и пластических зон получается выражение для критической нагрузки

  .                                                                                             (20)

Из формулы (20) следует, что критическая сила линейно растет с глубиной h, а зависимости от других параметров не имеют экстремальных значений, что соответствует достаточно плавной зависимости от всех других величин. Отметим, что величина критической нагрузки, выражаемая формулой (20), не зависит от возможной формы контура, например, можно положить в формуле (7)  которая является гладкой функцией.

Замечание. Изменение радиуса пластической зоны от глубины выработки может быть вычислено для конкретных данных [2].

Заключение

1. Рассмотрена задача нахождения критической силы при определении устойчивости породных масс в окрестности контура горизонтальной выработки с учетом упругопластических свойств окружающего массива горных пород.

2. Методом линеаризации соотношений упругопластической задачи получены уравнения, описывающие основное и возмущенное состояния породных масс в окрестности контура выработки.

3. Критическая сила находиться из решения характеристического уравнения, коэффициенты которого зависит от физико-механических свойств, геометрии задачи, условия пластичности и глубины расположения выработки.

4. Получено, что критическая сила достаточно монотонна изменяется в зависимости от всех параметров задач и не имеет точек экстремумов.