ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ РАБОЧЕГО ТЕЛА В ЦИКЛЕ СО СМЕШАННЫМ ПОДВОДОМ ТЕПЛОТЫ С ПОМОЩЬЮ РЕГРЕССИИ НА ПРИВЕДЁННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕПЛОТЫ

ESTIMATION OF MAXIMUM TEMPERATURE OF THE WORKING FLUID IN A CYCLE WITH MIXED HEAT SUPPLY USING REGRESSION ON THE REDUCED HEAT UTILIZATION FACTOR

Stefanovsky Alexey Borisovich

Candidate of Science, Associate Professor, Melitopol State University, Russia, Melitopol

Аннотация. При помощи базы данных о модельных и рабочих циклах транспортных дизелей выявлена и описана регрессия максимальной температуры рабочего тела в термодинамическом цикле со смешанным подводом теплоты на приведённый коэффициент использования теплоты (отношение коэффициентов использования теплоты при сгорании и избытка воздуха). Математическая модель, основанная на этой регрессии, учитывает также температуру рабочего тела в геометрическом конце сжатия и позволяет с удовлетворительной точностью определить максимальную температуру рабочего тела до стадии решения уравнения теплового баланса рабочего тела при смешанном подводе теплоты. Приведены количественные параметры указанной модели и её точности.

Abstract. Using the database on model and operating cycles of transportation diesel engines, the regression of the maximum temperature of the working fluid in a thermodynamic cycle with mixed heat supply on the reduced heat utilization coefficient (the ratio of coefficients of heat utilization during combustion and excess air) is revealed and described. The mathematical model based on this regression also takes into account the temperature of the working fluid at the geometric end of compression and makes it possible to determine with satisfactory accuracy the maximum temperature of the working fluid up to the stage of solving the equation of the thermal balance of the working fluid with a mixed heat supply. The quantitative parameters of the specified model and its accuracy are given.

Ключевые слова: максимальная температура рабочего тела, приведенный коэффициент использования теплоты, степень повышения давления при сгорании.

Keywords: working fluid maximum temperature, reduced heat utilization coefficient, combustion pressure increase rate.

Как известно, тепловой расчёт (ТР) двигателя внутреннего сгорания (ДВС), созданный В.И. Гриневецким и усовершенствованный его последователями, основан на замене сложных для анализа реальных процессов рабочего цикла двигателя их упрощёнными аналогами. Вместо действительного рабочего цикла ДВС рассчитываются параметры и показатели обратимого термодинамического цикла, рабочим телом в котором служит идеальный газ. Вместо анализа реального внутреннего сгорания порции топлива в ТР рассчитывается идеализированный процесс подвода теплоты при некотором соотношении участков с постоянным минимальным объёмом V_c и постоянным максимальным давлением p_z рабочего тела (это так называемый смешанный подвод теплоты). Чтобы расчёт термодинамического цикла давал практически применимые результаты, в ТР используется несколько эмпирических постоянных параметров, таких как условно постоянные потери давления сред, температурные параметры, средние показатели политроп и т.д. [2, с. 28-30, 35-36, 78-82, 96-97].

Тепловой расчёт 4-тактного дизеля применим к номинальному режиму ДВС (полной нагрузки) или, по крайней мере, к режиму работы двигателя, мало отличающемуся от номинального, и излагается в учебной литературе в виде замкнутого набора рекомендаций и математических формул, которые могут немного варьироваться от одного источника к другому и часто сопровождаются числовыми примерами. Например, в работе [6, с. 91-98] помещены два примера теплового расчёта тракторных дизелей, один из которых не имеет наддува, а другой снабжён турбонаддувом. В справочнике [3, с. 80-87] изложены примеры расчёта рабочего цикла одного 2-тактного судового и двух 4-тактных транспортных дизелей, снабжённых турбонаддувом, причём ход расчёта рабочего цикла соответствовал ТР.

Идеализация процессов действительного рабочего цикла, принятая в ТР и позволяющая выполнять расчёт самыми простыми средствами, затрудняет совмещение значений характерных параметров рабочего тела, определяемых в ТР и при более сложных методах моделирования рабочего цикла (или экспериментальных исследованиях ДВС). Так, для совмещения расчётного и фактического значений максимального давления рабочего тела (p_z = p_max) в ТР дизеля необходимо правильно выбрать величину степени повышения давления при сгорании (СПДС) λ_z, равную отношению давления p_z к давлению р_с рабочего тела в геометрическом конце сжатия, когда поршень находится в верхнем положении при закрытых клапанах. Давление р_с можно определить экспериментально, отключая подачу топлива в цилиндр дизеля или делая эту подачу такой поздней, что воспламенение рабочей смеси произойдёт после начала рабочего хода поршня. Так как техника регистрации переменного давления рабочего тела в цилиндре ДВС достаточно совершенна [5, с. 74-128], то можно накопить достаточно сведений о фактических величинах СПДС для использования их в ТР дизелей.

Сложнее обстоит дело с совмещением расчётных значений максимальной температуры рабочего тела, получаемых при ТР и более сложных методах моделирования рабочего цикла ДВС (или на основе экспериментальных индикаторных диаграмм). Обозначим T_z максимальную температуру рабочего тела в термодинамическом цикле со смешанным подводом теплоты и T_max – аналогичную температуру, вычисляемую при более сложном и точном моделировании рабочего цикла дизеля или на основе экспериментальной индикаторной диаграммы для номинального режима. В ТР температура T_z часто вычисляется как один из корней квадратного уравнения, коэффициенты которого a_z и b_z (при 2-й и 1-й степенях T_z) зависят от принятого коэффициента избытка воздуха (КИВ) α_ив, а «свободный член» c_z – также и от ряда других параметров: коэффициента использования теплоты при сгорании (КИТС) ξ_z(0), низшей теплоты сгорания топлива, коэффициента остаточных газов γ_r, СПДС λ_z, температуры Т_с [4, с. 17-18]. В работе [8, c. 198-199] предложено корректировать величину КИТС, чтобы выполнить условие однозначности расчётной максимальной температуры рабочего тела T_z = T_max: вначале принимаемое значение КИТС ξ_z(0) затем корректируется определённым способом, а скорректированный КИТС обозначается ξ_z(1). В настоящей работе рассматриваются только исходные значения КИТС ξ_z(0), обычно обозначаемые в литературе без нуля в индексе.

Созданная автором база данных, включающая постоянные параметры и ряд результатов моделирования циклов и экспериментальных исследований нескольких десятков отечественных транспортных дизелей [7, c. 7-18], позволяет по-новому подойти к определению характерных параметров рабочего тела. Для этого можно использовать приёмы математической статистики и отыскивать такие регрессии искомых параметров (откликов) на другие факторы (заданные или известные), которые отличаются приемлемой точностью вычисления откликов. Такие зависимости дополняют ТР и позволяют избежать принятия необоснованных значений постоянных параметров расчёта.

Цель работы – используя материал вышеуказанной базы данных, исследовать зависимость максимальной температуры T_z рабочего тела в термодинамическом цикле со смешанным подводом теплоты от основных факторов и получить математическую модель, пригодную для предварительного определения этой температуры в ходе теплового расчёта дизеля.

Данное исследование проводилось в рамках более широкой работы, посвящённой анализу варьирования значений КИТС, принимавшихся различными авторами в ходе ТР и уточнённого моделирования рабочих циклов транспортных дизелей. При этом учитывались имевшиеся модельные и эмпирические зависимости параметра относительного теплоиспользования от угла поворота кривошипа, а также возможность аналогий между параметрами, принятыми в ТР и результатами более сложных исследований рабочих циклов ряда дизелей (например, тепловозных ЧН 26/26 и др.). Во всех случаях применялся один и тот же вариант методики вычисления максимальной температуры T_z, чтобы устранить влияние на последнюю имевшихся небольших различий хода ТР в разных первоисточниках.

Одним из факторов, влияние которого на максимальную температуру T_z требовалось исследовать, является исходный КИТС ξ_z(0). Но, как отмечалось выше, коэффициенты квадратного уравнения, одним из корней которого является T_z, также зависят от КИВ α_ив, СПДС λ_z, температуры Т_с в конце сжатия и т.д. Для уменьшения размерности задачи моделирования желательно эти факторы комбинировать, и очевидной их комбинацией служит отношение КИТС и КИВ ξ_z(0)/α_ив, которое можно назвать «приведённым коэффициентом использования теплоты» (ПКИТ). «Свободный член» c_z квадратного уравнения содержит два слагаемых, одно из которых прямо пропорционально ПКИТ, а второе представляет собой квадратичную функцию температуры Т_с; влиянием же коэффициента остаточных газов γ_r допустимо пренебречь, так как у дизелей он весьма мал. Низшая теплота сгорания дизельного топлива варьируется очень незначительно и не может служить фактором. Поэтому искомая зависимость T_z от других факторов может иметь вид

T_z = T_z(ξ_z(0)/α_ив, Т_с, λ_z).                                           (1)

Графиком на рисунке 1 демонстрируется влияние ПКИТ на максимальную температуру T_z рабочего тела в термодинамическом цикле со смешанным подводом теплоты. Этот график построен на основе количественной информации [7, c. 7-14], приведённой в таблицах базы данных в строках “T_z”, “α_ив” и “ξ_z(0)”. Всего на графике построено 68 точек, из которых 36 относятся к выполненным ТР дизелей (светлые), а остальные (тёмные точки) – к случаям уточнённого моделирования рабочих циклов или экспериментальных исследований транспортных дизелей, когда температура T_z вычислялась посредством ТР на основе характерных параметров рабочих циклов дизелей. Вследствие неоднозначности определения значений λ_z, Т_с или принятых параметров (α_ив, γ_r), в ряде случаев одному дизелю соответствует не одна точка, а пара точек (с номерами 1, 13, 18 и др.).

Рисунок 1. График влияния приведённого коэффициента использования теплоты на максимальную температуру рабочего тела в термодинамическом цикле (светлые точки – выполнен классический тепловой расчёт (TP), тёмные – ТР выполнен автором на основе результатов уточнённого моделирования рабочих циклов или экспериментальных исследований дизелей)

Соотношение номеров точек и стандартизированных обозначений дизелей видно в верхних строках таблиц базы данных, также содержащей список источников сведений для всех точек. Сведения для точек 67 и 68, относящиеся к тепловозным дизелям ЧН 26/26 и дополняющие базу данных, взяты из работы Анисимова А.С. [1, с. 70-71, 78-80, 84, 113], в которой использованное обозначение T_z фактически относится к максимальной температуре рабочего тела T_max. При вычислении температуры T_z для этих точек, по аналогии с выполненными ТР для таких дизелей (точки 16, 21, 31), принималось исходное значение КИТС ξ_z(0) = 0,75.

Поле точек на графике рисунка 1 вытянуто по диагонали и характеризует довольно чёткую возрастающую статистическую зависимость – регрессию максимальной температуры T_z на ПКИТ. Эта зависимость не является строго функциональной из-за влияния на T_z других факторов, вызывающего заметный вертикальный разброс точек при данном значении ПКИТ (кроме крайних точек 68 и 60, соответствующих наиболее бедному и богатому составам рабочей смеси распылённого испаряющегося топлива и воздуха с примесью остаточных газов; точка 68 для тепловозного дизеля ЧН 26/26, точка 60 – для одноцилиндрового исследовательского дизеля Ч 13/14,2).

Между точками 68 и 60 на графике рисунка 1 проведена прямая линия (2а), которая, как выяснилось, незначительно смещена от линейной регрессии, обоснованной при помощи метода наименьших квадратов (МНК) и может служить базой для отсчёта вертикальных отклонений точек вверх и вниз:

где правая часть (2б) получена из (2а) посредством округления и небольшой корректировки коэффициентов, а правая часть (2в) получена с помощью МНК и также с округлением коэффициентов. Здесь и далее знак ^ над обозначением переменной означает, что вычисленное (с помощью правой части формулы) её значение, вообще говоря, не равно фактическому, использованному для получения расчётной формулы посредством МНК.

Регрессии (2а – 2в) характеризуются коэффициентом парной корреляции около 0,882, указывающим на существенную зависимость отклика от фактора. Переход от регрессии (2а) к (2б), а также округление коэффициентов в регрессии (2в) позволили выровнять пределы относительной погрешности (ОП) расчётного отклика . Для регрессии (2в) они близки к ±0,10: наименьшая отрицательная ОП – для точки 47, а наибольшая положительная ОП – для точки 8 (соответственно, для ТР дизеля ЧН 12/13 с неразделённой камерой сгорания и вихрекамерного дизеля Ч 8,5/11); среднее абсолютное значение ОП (САОП) немного выше 0,03. При среднем арифметическом значении отклика около 2038 К, эта САОП соответствует абсолютной погрешности вычисления температуры более 60 К (в обе стороны), а вышеуказанные пределы ОП – абсолютной погрешности около ±200 К. Такие отклонения слишком велики даже для учебных расчётов, поэтому нужно дополнить базовую регрессию максимальной температуры T_z на ПКИТ слагаемыми, учитывающими влияние других факторов.

Также при исследовании зависимости относительной максимальной температуры рабочего тела T_z/T_c от ПКИТ с помощью МНК было установлено, что T_z/T_c в среднем пропорциональна квадратному корню из ПКИТ (с коэффициентом пропорциональности около 3,1). При этом коэффициент корреляции расчётных и фактических значений относительной максимальной температуры около 0,84, САОП около 0,047, а пределы ОП немного выше ±0,14. Данную регрессию (в форме степенной функции) удобно использовать для корректировки величины T_z/T_c при изменении ПКИТ.

На рисунке 2 представлены частные регрессии вертикального расстояния от точек на рисунке 1 до линии (2б) базовой регрессии T_z на ПКИТ, причём регрессором теперь служит температура Т_с рабочего тела в конце сжатия (расчётная либо эмпирическая, значения которой приведены в строке «Т_с» базы данных). Графики этих частных регрессий построены для узких интервалов изменения ПКИТ – около 0,4, около 0,5 и т.д.; всего исследовались шесть таких интервалов. Как видно на рисунке 2, частные линейные регрессии на Т_с характеризуются довольно грубой точностью. Значения же их числовых коэффициентов a_0Tc и a_1Tc не вполне линейно зависят от ПКИТ, что видно из таблицы и на графике, представленных на рисунке 3. При ПКИТ более 0,5 этот фактор влияет гораздо сильнее на a_0Tc и a_1Tc, чем при меньших значениях ПКИТ. Хотя можно было бы приближённо описать это влияние двумя парами линейных функций регрессии a_0Tc и a_1Tc на ПКИТ, учитывая взаимную пропорциональность этих коэффициентов (a_0Tc ≈ −950 a_1Tc), окончательный вид этих регрессий устанавливался совместно с базовой регрессией (2б), с учётом интегральных показателей точности вычисления температуры T_z.

Рисунок 2. Влияние температуры рабочего тела в конце сжатия Т_с на вертикальное расстояние от точек на рисунке 1 до базовой прямолинейной зависимости (2б) максимальной температуры T_z от приведённого коэффициента использования теплоты, обозначенного Х здесь и далее (для ряда его значений)

Оказалось, что несколько лучшей точностью, чем линейные регрессии коэффициентов –а_0Тс и а_1Тс на ПКИТ, при его повышенных значениях обладают экспоненциальные регрессии. Последние довольно хорошо стыкуются с линейными регрессиями указанных коэффициентов на ПКИТ (используемыми для его пониженных значений) при ПКИТ, близком к 0,51. Таким образом, результирующая зависимость (1) приняла вид

,                      (3)

где каждый из двух коэффициентов (в 3-м и 4-м слагаемых правой части) представлен в виде пары их состыкованных регрессий на ПКИТ:

а                                                                    б

Рисунок 3. Вид и значения коэффициентов линейной функции температуры рабочего тела в конце сжатия (а) и график их линейных регрессий на приведённый коэффициент использования теплоты (б); точки 0 и 1 соответствуют коэффициентам –а_0Тс и а_1Тс , точки x – экспонентам в (4) и (5)

         (4)

        (5)

Интегральные показатели точности вычисления максимальной температуры T_z рабочего тела с помощью формул (3) – (5) следующие:

- коэффициент множественной корреляции около 0,976;

- скорректированный (с учётом наличия двух факторов) коэффициент детерминации около 0,95;

- среднее квадратичное отклонение (СКО) расчётных значений от фактических, приведённых в базе данных, около 42 К;

- пределы ОП расчётных значений : наименьший отрицательный –0,040, наибольший положительный +0,057 (соответственно, для точек 58 и 60, где точка 58 относится к уточнённому моделированию рабочего цикла дизеля ЧН 12/12);

- САОП около 0,016.

Как видно, включение температуры Т_с в математическую модель существенно улучшило её точность, снизив среднее рассеивание результата расчёта максимальной температуры примерно к ±32 К. Это вполне приемлемо для предварительной оценки величины T_z при ТР дизеля (до решения квадратного уравнения относительно этой температуры). Анализ совокупности полученных 68 значений ОП  показал, что хотя в 48 случаях величина ОП была меньше 0,02 (а в 29 случаях даже меньше 0,01), в остальных случаях эта погрешность всё-таки осталась довольно большой и, как правило, отрицательной. Поэтому было проанализировано влияние на повышенные значения величины ОП  (превышающие 0,0199) таких факторов, как СПДС λ_z, относительная максимальная температура Т_z/Т_с и их произведение λ_zТ_z/Т_с. Оказалось, что наиболее существенно на  влияет СПДС λ_z, в том числе – в составе указанного произведения, что позволило далее не учитывать влияния Т_z/Т_с.

На рисунке 4 показаны пары линий регрессии  на фактическую СПДС λ_z и её расчётный аналог = 0,85 +1,50ξ_z(0)/α_ив, полученный с помощью МНК (в этом случае коэффициент корреляции  и ПКИТ около 0,64, пределы ОП около ±0,23 и САОП около 0,08). Верхние линии 1 относятся к небольшому числу точек, показавших сильное влияние СПДС на ОП максимальной температуры рабочего тела: для регрессии на фактическую СПДС принята форма показательной функции 10^–4 exp(3,0 +1,72λ_z), a для регрессии на – форма линейной функции –0,020 +0,039.

а                                                          б

Рисунок 4. Влияние степени повышения давления при сгорании λ_z на модуль повышенной относительной погрешности определения максимальной температуры рабочего тела: а – для фактических значений λ_z; б – для расчётных значений СПДС (согласно зависимости, приведённой в тексте); точки круглые – для отрицательной ОП, квадратные (только 12, 13 и 60) – для положительной ОП

Нижние линии 2 характеризуют совокупность примерно 3/4 точек в форме таких линейных функций: для регрессии на фактическую СПДС –0,0108 +0,0219λ_z, а на расчётную СПДС –0,019 +0,030. Коэффициент корреляции для перечисленных зависимостей находится в пределах около 0,73…0,88 (повышен для нижней линии на левом графике и верхней на правом); САОП для левого графика равна около 0,10 (нижняя линия) и 0,21 (верхняя), а для правого графика – немного выше 0,10 для обеих линий. Здесь видно, что при предварительной оценке температуры T_z описанным методом, если можно ожидать повышенной ОП, удобнее использовать расчётную СПДС, чем фактическую (принимаемую при ТР, чтобы вычислить максимальное давление рабочего тела p_z и решить квадратное уравнение относительно T_z).

Если предполагается повышенная величина ОП > 0,02, то уточнение максимальной температуры рабочего тела , вычисленной с помощью формул (3) – (5), выполняется с помощью формулы

,                           (6)

где – расчётное значение ОП, согласно одной из четырёх вышеприведённых регрессий величины ОП максимальной температуры на СПДС; знак плюс или минус берётся, соответственно предполагаемому знаку ОП. Если же нет оснований предполагать повышенную величину , то уточнять вычисленную температуру  с помощью (6) не требуется, так как более точное её значение будет получено в ходе ТР при решении вышеупомянутого квадратного уравнения.

Таким образом, максимальная температура T_z рабочего тела в термодинамическом цикле со смешанным подводом теплоты наиболее существенно зависит от приведённого коэффициента использования теплоты (ПКИТ) ξ_z(0)/α_ив, менее существенно – от температуры Т_с рабочего тела в конце сжатия и малосущественно – от степени повышения давления при сгорании (СПДС) λ_z. Относительная максимальная температура Т_z/Т_с приближённо пропорциональна квадратному корню из ПКИТ. Для предварительного вычисления максимальной температуры T_z пригодна двухфакторная математическая модель, состоящая из формул (3) – (5) и обеспечившая среднюю величину относительной погрешности около 0,016. При необходимости дополнительного учёта влияния λ_z следует воспользоваться формулой (6) и одной из регрессий повышенной величины ОП вычисленной максимальной температуры рабочего тела на СПДС.