Прямая и обратная задача теории рассеяния для возмущенного оператора Штурма-Лиувилля

Аннотация. В данной работе решается прямая и обратная задачи теории рассеяния для возмущенного оператора Штурма-Лиувилля,  т.е. находятся необходимые условия на набор величин при которых они служили бы, данными рассеяния заданного оператора, затем доказывается достаточность этих условий.

Ключевые слова: Уравнение Штурма-Лиувилля; Теория рассеяния; Обратная задача, оператор преобразования, равенство Парсеваля.

1. Введение. Есть несколько версий обратной задачи Штурма-Лиувилля. Первые  важные результаты в этом направлении, были получены [1]. Интерес к обратным задачам возрос из-за связей обратных задач с некоторыми важными нелинейными уравнениями математической физики. Подробное изложение связей обратных задач с нелинейными уравнениями (не только Кортефега – де Фриза) посвящена монография В.Е.Захарова, С.В.Манакова. В настоящее время, обратные задачи изучаются для некоторых специальных классов обыкновенных дифференциальных операторов. Эффективный метод построения регулярного и сингулярного оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции или по двум спектрам дается [2, 3, 4]. Детали обратных задач для сингулярных уравнений были приведены в [5, 6,] и в ссылках в них. Следует отметить, что в процессе эффективного решения обратных задач рассеяния оператор преобразования с условиями на бесконечности открытый Б.Я.Левиным играет важную роль. Принципиальным моментом здесь является построение оператора преобразования с условиями на бесконечности, переводящего решение  невозмущенного уравнения  в  решение возмущенного уравнения , при условии

                                                                                                   (1)

Доказывается, что ядро (8) оператора преобразования является решением граничной задачи (9)-(10). Методом Римана доказывается, что для решения граничной задачи (9)-(10) достаточно интегральное уравнение (14). Применяя метод последовательных приближений, доказывается единственность решения этого уравнения. С помощью оператора преобразования находим асимптотику нормированных собственных функций граничной задачи

Далее выводится и исследуется основное интегральное уравнение (17) для ядра 

2.Равенство Парсеваля для .

В случае     можно показать, что функция

                                                                                              (2)

является решением уравнения

                                                                                                           (3)

и при - цилиндрические функции Ганкеля.

Обозначим через  решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям

                                                                                                     (4)

Используя формулу (2) доказываем,что

                                                                                         (5)

где

                                                                                                       (6)

3.Оператор преобразования с условием на бесконечности.

Здесь мы находим условия существования оператора преобразования типа, введенным Б.Я.Левиным.

Теорема. Пусть выполняется условие (1). Тогда при любом  уравнение  имеет решение  с условием

                                                                                                              (7)

и существует ядро  такое, что

                                                                                              (8)

где  удовлетворяет уравнению

                                                                                                  (9)

                                                                                                       (10)

                                                                                 (11)

                                                                                                  (12)

и

                                                                (13)

где

4. Разложения по собственным функциям оператора .

Обозначим через  решение уравнения   удовлетворяющее условиям (4). Мы доказываем справедливость существования разложения:

                                                                                             (14)

где   . Таким образом, функция

является нормированной собственной функцией непрерывного спектра оператора .

Введя обозначение  мы замечаем, что для вещественных значений 

                                                                                            (15)

                                                                                       (16)

Из этой формулы следует, что при  асимптотическое поведение  определяется функцией . Эту функцию мы назовем функцией рассеяния оператора .

Лемма 1. Функция рассеяния  определена на всей вещественной оси, унитарна: 

  и 

Лемма 2. Интегральное уравнение

имеет лишь тривиальное решение  в   

5. Основное уравнение для ядра .

Умножим обе части равенство (15) на  и проинтегрируем по параметру от  до .

Используя равенство Парсеваля (14) после элементарных преобразований мы получим основное интегральное уравнение типа В.А.Марченко:

                                                                                       (17)

где

                                                         (18)

функцию  будем называть функцией перехода. Она играет важную роль при решении обратной задачи.

Лемма 3. Функция перехода  удовлетворяет неравенству

                                                                                                        (18')

и непрерывные частные производные  удовлетворяют неравенству

,                                                                                           (19)

где  убывающая и интегрируемая функция на .

Доказательство.

Для доказательства применим основное уравнение (17) и оценку (12). В основном уравнении (17) возьмем функцию  в качестве неизвестного. Тогда для функции  получим уравнение

Возьмем

Учитывая оценку (12), имеем

Следовательно, . Методом математической индукции доказывается, что , .

Следовательно, ряд ,  сходится равномерно в области , и функция  является решением основного уравнения, и для него справедливы оценки (18').