Об n-кратно Ω-расслоенных классах Фиттинга конечных групп

ON -MULTIPLE -FOLIATED FITTING CLASSES OF FINITE GROUPS

Angelina Saakyan

Postgraduate student, Bryansk state university, Russia, Bryansk

Аннотация. В работе рассматриваются только конечные группы. Изучаются -расслоенные классы Фиттинга конечных групп. Используются методы теории классов групп. Установлена -кратная -расслоенность некоторых классов Фиттинга конечных групп.

Abstract. In the paper only finite groups are considered. We study -foliated Fitting classes of finite groups. We use methods of the theory of classes of groups. We established -multiple -foliation of some Fitting classes of finite groups.

Ключевые слова: конечная группа, класс групп, класс Фиттинга, -расслоенный класс Фиттинга, -кратно -расслоенный класс Фиттинга.

Keywords: a finite group, a class of groups, a Fitting class, an -foliated Fitting class, -multiple -foliated Fitting class.

В теории классов конечных групп центральное место занимают классы, называемые классами Фиттинга [1]. При исследовании классов Фиттинга эффективными являются функциональные методы. Так, с помощью специальных функций, которые называются спутниками (см., например, [2]), были построены такие классы Фиттинга, как локальные и -локальные, композиционные и -композиционные классы Фиттинга. В 1999 году В.А. Ведерников, используя функциональный подход, построил -расслоенные классы Фиттинга, обобщающие упомянутые выше -композиционные классы Фиттинга (см. [3, 4]). В частности, -композиционные классы Фиттинга представляют один из видов -расслоенных классов Фиттинга конечных групп. Исследованию -расслоенных классов Фиттинга посвящены работы О.В. Камозиной, В.Е. Егоровой, Е.Н. Бажановой и других (см., например, [5 ‒ 7]). Целью настоящей работы является установление -кратной -расслоенности некоторых классов Фиттинга конечных групп.

Рассматриваются только конечные группы. В работе используются классические методы теории групп и теории классов групп. Используемые определения и обозначения для групп и классов групп стандартны (см., например, [1, 8]). Приведем лишь некоторые из них.

Классом групп называется множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные; класс групп  называется классом Фиттинга, если выполняются следующие два условия:

1) если  и , то ;

2) если    и , , , то  [1].

Через  обозначается -радикал группы , т.е. наибольшая нормальная подгруппа группы , принадлежащая , где  – класс Фиттинга. Через  обозначается -корадикал группы  т.е. наименьшая нормальная подгруппа группы  фактор-группа по которой принадлежит формации  [1].

В дальнейшем,  обозначает множество всех простых чисел. Пусть  – непустое множество групп. Через  обозначается класс групп, порожденный ; в частности,  – класс всех групп, изоморфных группе   – класс всех простых групп, изоморфных композиционным факторам группы  Пусть  – класс всех конечных групп,  – класс всех простых конечных групп,  – непустой подкласс класса ,  – класс всех конечных абелевых групп,  − класс всех конечных нильпотентных групп. Пусть  – класс групп,  Тогда  и  ‒ соответственно классы всех -групп и -групп, принадлежащих классу  Если  и  классы групп, то существует , где  Через обозначается направление -композиционного класса Фиттинга, то есть  для любого  где  класс всех групп, у которых каждый главный -фактор централен [4]. Если , то группа   называется -группой;  – класс всех -групп; ,  [3]. Через   обозначим класс всех групп, у которых каждый главный -фактор централен; через  – класс всех групп, у которых каждый главный абелев -фактор централен.

Функции {классы Фиттинга групп} и  {классы Фиттинга групп},  {непустые формации Фиттинга}, принимающие одинаковые значения на изоморфных группах из области определения, называются соответственно -функцией, -функцией и -функцией [3].  Класс Фиттинга

 и   для любого  )

называется -расслоенным классом Фиттинга с -спутником  и направлением  (кратко, -расслоенным классом Фиттинга) и обозначается  [3]. Класс Фиттинга для любого называется расслоенным классом Фиттинга с -спутником  и направлением  (кратко, -расслоенным классом Фиттинга) и обозначается  [3].

Направление  -расслоенного класса Фиттинга называется -направлением, если  для любой абелевой группы ; -направлением, если  для любой группы ; направление  -расслоенного класса Фиттинга называется -направлением, где , если  [4].

Следуя [9], всякий класс Фиттинга считают 0-кратно -расслоенным. Пусть Класс Фиттинга  называется -кратно -расслоенным классом Фиттинга с направлением  (-кратно -расслоенным) если  обладает хотя бы одним -спутником, то есть таким -спутником , все непустые значения которого являются -кратно -расслоенными классами Фиттинга с направлением  [4].

Теорема 1. Пусть произвольная -функция. Тогда класс Фиттинга  является -кратно -расслоенным классом Фиттинга для любого 

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по параметру n.

1. Установим справедливость утверждения при . Действительно, по теореме 2.3 [10]  является -расслоенным классом Фиттинга с направлением  то есть 1-кратно -расслоенным классом Фиттинга.

2. Предположим, что при  утверждение истинно, то есть предположим, что  является -кратно -расслоенным классом Фиттинга.

3. Докажем, что при  утверждение также истинно. По теореме 2.3 [10] класс  совпадает с классом Фиттинга который обладает -спутником  имеющим следующее строение:  и для любого  выполняется  Учитывая, что   -кратно -расслоенный класс Фиттинга по предположению индукции, получаем, что все непустые значения -спутника  класса  являются -кратно -расслоенными классами Фиттинга. Таким образом,   -кратный -расслоенный класс Фиттинга. Из 13 по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого   Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть произвольная -функция. Тогда класс Фиттинга (1) всех единичных групп является -кратно -расслоенным классом Фиттинга для любого 

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по параметру n.

1. Установим справедливость утверждения при . Действительно, по теореме 2.1 [10] (1) является -расслоенным классом Фиттинга с направлением  то есть 1-кратно -расслоенным классом Фиттинга.

2. Предположим, что при  утверждение истинно, то есть предположим, что (1) является -кратно -расслоенным классом Фиттинга.

3. Докажем, что при  утверждение также истинно. По теореме 2.1 [10] класс (1) совпадает с классом Фиттинга  который обладает -спутником  имеющим следующее строение: (1) и для любого  выполняется  Учитывая, что (1)  -кратно -расслоенный класс Фиттинга по предположению индукции, получаем, что все непустые значения -спутника  класса (1) являются -кратно -расслоенными классами Фиттинга. Таким образом, (1)  -кратный -расслоенный класс Фиттинга. Из 13 по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого   Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть   – - направление -расслоенного класса Фиттинга. Тогда класс Фиттинга  является -кратно -расслоенным классом Фиттинга для любого 

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по параметру n.

1. Установим справедливость утверждения при . Действительно, по теореме 2.4 [10]  является -расслоенным классом Фиттинга с -направлением , то есть 1-кратно -расслоенным классом Фиттинга.

2. Предположим, что при  утверждение истинно, то есть предположим, что  является -кратно -расслоенным классом Фиттинга.

3. Докажем, что при  утверждение также истинно. По теореме 2.4 [10] класс  совпадает с классом Фиттинга  который обладает -спутником  имеющим следующее строение:  и для любого  выполняется  если  и  если  Учитывая тот факт, что по теореме 2 класс  всех единичных групп – -кратно -расслоенный класс Фиттинга, а также ввиду предположения индукции, получаем, что все непустые значения -спутника  класса  являются -кратно -расслоенными классами Фиттинга. Таким образом,   -кратный -расслоенный класс Фиттинга. Из 13 по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого   Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть  произвольная -функция. Тогда класс Фиттинга  является -кратно -расслоенным классом Фиттинга для любого 

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по параметру n.

1. Установим справедливость утверждения при . Действительно, по теореме 2.5 [10]  является -расслоенным классом Фиттинга с направлением  то есть 1-кратно -расслоенным классом Фиттинга.

2. Предположим, что при  утверждение истинно, то есть предположим, что  является -кратно -расслоенным классом Фиттинга.

3. Докажем, что при  утверждение также истинно. По теореме 2.5 [10] класс  совпадает с классом Фиттинга  который обладает -спутником  имеющим следующее строение:  и для любого  выполняется  если  и  если  где  По предположению индукции, получаем, что все непустые значения -спутника  класса  являются -кратно -расслоенными классами Фиттинга. Таким образом,   -кратный -расслоенный класс Фиттинга.

Из 13 по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого   Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть   – -направление -расслоенного класса Фиттинга, удовлетворяющее условию ) Тогда класс Фиттинга  является -кратно -расслоенным классом Фиттинга для любого 

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции по параметру n.

1. Установим справедливость утверждения при . Действительно, по теореме 4 [11]  является -расслоенным классом Фиттинга с направлением  то есть 1-кратно -расслоенным классом Фиттинга.

2. Предположим, что при  утверждение истинно, то есть предположим, что  является -кратно -расслоенным классом Фиттинга.

3. Докажем, что при  утверждение также истинно. По теореме 4 [11] класс  совпадает с классом Фиттинга  который обладает -спутником  имеющим следующее строение:  и для любого  выполняется  если   если  Поскольку учитывая, что, согласно теореме 2,  – -кратно -расслоенный класс Фиттинга, а также учитывая предположение индукции, получаем, что все непустые значения -спутника  класса  являются -кратно -расслоенными классами Фиттинга. Таким образом,   -кратный -расслоенный класс Фиттинга. Из 13 по методу математической индукции следует, что утверждение верно для любого   Теорема доказана.