Статья:

Решение одной математической задачи энергетики

Журнал: Научный журнал «Студенческий форум» выпуск №34(127)

Рубрика: Физико-математические науки

Выходные данные
Мосеева В.А. Решение одной математической задачи энергетики // Студенческий форум: электрон. научн. журн. 2020. № 34(127). URL: https://nauchforum.ru/journal/stud/127/78732 (дата обращения: 29.03.2024).
Журнал опубликован
Мне нравится
на печатьскачать .pdfподелиться

Решение одной математической задачи энергетики

Мосеева Виктория Александровна
студент ОГАПОУ Ульяновский авиационный колледж – Межрегиональный центр компетенций, РФ, г. Ульяновск
Ершова Нина Александровна
научный руководитель, магистр педагогических наук, преподаватель, ОГАПОУ «Ульяновский авиационный колледж – Межрегиональный центр компетенций», РФ, г. Ульяновск

 

SOLVING A MATHEMATICAL PROBLEM

 

Victoriya Moseeva

Student of Ulyanovsk aviation  college  - inter-regional center of competences, Russia, Ulyanovsk

Nina Yershova

Master of pedagogical Sciences, teacher, Ulyanovsk aviation college  - inter-regional center of competences, Russia, Ulyanovsk

 

Аннотация. В статье раскрываются основные понятия метода оптимизации энергетических задач. На конкретном примере энергетической задачи составлена математическая модель задачи и представлен традиционный метод решения. К решению энергетической задачи на оптимизацию применяется транспортный метод решения таких задач.

Abstract. The article reveals the basic concepts of the method of optimization of energy problems. Using a specific example of an energy problem, a mathematical model of the problem is compiled and a traditional solution method is presented. To solve the energy optimization problem, the transport method is used to solve such problems.

 

Ключевые слова: математическое моделирование, методы оптимизации, энергетическая задача, традиционный метод, целевая функция, искомые переменные, ограничения, граничные условия.

Keywords: mathematical modeling; optimization methods; energy problem; traditional method; objective function; desired variables; constraints; boundary conditions.

 

Для решения различных профессиональных задач студенту как специалисту необходимы знания основ математического моделирования технических систем, методов расчета и анализа параметров схем замещения системы электроснабжения и рабочего режима, решения оптимизационных задач, современного программного обеспечения персональных компьютеров.

Как правило, математические методы не разрабатываются для решения конкретных задач. Именно поэтому формулировка любой технической задачи должна быть записана с помощью определенных математических выражений. А студент-выпускник должен знать математические методы, предназначенные для решения обобщенных инженерных задач и уметь выбрать целесообразный метод для решения конкретной технической задачи.

Как известно, при выборе оптимального варианта достигается минимальное, максимальное или иное значение какого-то критерия. Этот критерий характеризует качество оптимизации. Для решения задач оптимизации электрическую систему нужно представить в виде математической модели. В математической модели выделяют следующие составляющие:

1) параметры системы, (конфигурация сети, активное и реактивное сопротивление ЛЭП и трансформаторов и т.д.);

2) внешние и внутренние воздействия напряжения, значения электрических нагрузок в различных точках цепи;

3) переменные управления или управляющие воздействия, например, положение точек размыкания;

4) переменные состояния – характеристики режима потокораспределения и т.д.;

5) критерий оптимальности или целевая функция, например, величина потерь мощности или минимум приведенных затрат;

6) ограничения, накладываемые на переменные состояния и переменные управления – это уровни напряжения и допустимые токи нагрузки.

Следует отметить, что математическое программирование представляет собой многократно повторяющуюся вычислительную процедуру, приводящую к искомому оптимальному решению. Выбор метода математического программирования для решения оптимизационной задачи определяется видом зависимостей в математической модели, характером искомых переменных, категорией исходных данных и количеством критериев оптимальности.

Заметим, что решение задач небольшой размерности можно выполнить традиционными вычислениями с помощью калькулятора. Решение же реальных задач, размерность которых может быть достаточно большой, возможно лишь с помощью ЭВМ. Поэтому студент-выпускник должен знать программное обеспечение современных персональных компьютеров и уметь пользоваться этим обеспечением.

Рассмотрим следующую задачу: от трех электростанций мощностью 100 МВт, 25 МВт и 50 МВт энергию потребляют четыре населенных пункта с объемами потребления 60 МВт, 45 МВт, 40 МВт и 30 МВт. Составьте такой план электрических сетей, чтобы все населенные пункты были обеспечены электроэнергией, а общие затраты на передачу электроэнергии были минимальны. Стоимость передачи электроэнергии от первой электростанции до каждого населенного пункта составляет 10, 7, 5, 8 тыс.рублей, от второй электростанции – 3, 6, 8, 4 тыс.рублей, от третьей электростанции – 4, 2, 9, 6 тыс.рублей.

Решим задачу непосредственным вычислением:

Количество переменных: 3х4=12.

Целевая функция: .

По условию задачи .

Система ограничений:

.

Запишем в виде таблицы:

 

Определим форму записи модели: 

, модель закрытая.

Определим опорный план.

Метод северо-западного угла:

 

 первая строка закрыта (); первый столбец закрыт ();

 вторая строка закрыта (); второй столбец закрыт ();

 третья строка закрыта.

Значение целевой функции для найденного плана:

 тыс.рублей.

Метод минимальной стоимости:

 

третья строка закрыта (); второй столбец закрыт ();

 вторая строка закрыта ();

 третий столбец закрыт, четвертый столбец закрыт, первый столбец закрыт.

Значение целевой функции для найденного плана:

 тыс.рублей.

 

Метод аппроксимации Фогеля:

 

 выбираем первый столбец 

 вторая строка закрыта ();

 выбираем первый столбец 

 первый столбец закрыт ();

 выбираем второй столбец 

 третья строка закрыта ();

 выбираем четвертый столбец  четвертый столбец закрыт;

 третий столбец закрыт; .

Значение целевой функции для найденного плана:

 тыс.рублей.

Лучший результат:  тыс.рублей.

Проверим его на оптимальность методом потенциалов. Составим систему уравнений для каждой заполненной клетки:

,

.

Пусть , тогда .

Для каждой свободной клетки вычислим .

,

,

,

,

,

.

Так как все найденные , то найденный план является оптимальным.

Ответ: 

  тыс.рублей.

Получим решение задачи в среде MS Excel

 

Рисунок 1. Фрагмент эл.листа с условием и решением задачи

 

Рисунок 2. Отчет по результатам решения

 

Список литературы:
1. Лунгу К. Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. - М. : Физматлит, 2005. - 128 с. 
2. Данко П. Е., Попов А.Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях). - М. : Высш.шк, 1986. ч.2. – 416 с. 
3. Плотников А. Д. Математическое программирование: экспресс-курс - 2-е изд., стер. - Минск : Новое знание, 2007. - 171 с. 
4. Грешилов А. А. Прикладные задачи математического программирования: Учебное пособие – 2-е изд. – М. : Логос, 2006. – 288 с. 
5. Солодовников А. С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. – М. : Просвещение, 1966. – 184 с.