Движение гиперболического треугольника

Введение.

В работе рассматривается широкий класс групп, заданных образующими и соотношениями, так называемые треугольные группы.

Интерес к ним обусловлен прежде всего, что они играют большую роль в геометриях:

Евклидовой, сферической, и особенно, гиперболической, в теории автоморфных функций, в топологии многообразий и т.д.

Эти группы возникают как группы, порожденные отражениями (симметриями) относительно сторон треугольника с заданными углами, построенными в соответствующих геометриях. Поскольку на плоскости и сфере не так много таких групп, то основным поставщиком этих групп является гиперболическая плоскость.

Обзор литературы.

Мы используем статью Мелисы Потер, чтобы создать связь между гиперболическими фигурами и их конструкций с использованием евклидовых инструментов; а источник Магнус В., Каррас А., Солитэр Д и монографию Ольшанский А.Ю. используем для понимания основ и геометрий.

Результаты исследования.

Первым этапом в работе была разработка и реализация алгоритма построения гиперболических треугольников с заданными углами.

Вторым этапом – разработка и реализация алгоритма построения симметрий относительно сторон построенного треугольника. Причем все это реализовано на модели гиперболической плоскости в единичном круге.

Третьим этапом в работе была геометрическая реализация слов в групповом алфавите, отношение эквивалентности, сокращения, тождества.

Процедура построения дискретных групп исходя из разбиения (покрытия) черепицы (плитки), которая является в свою очередь фундаментальной областью группы создает две проблемы[3].

Первая: мы должны доказать, что группа, порожденная движениями, которые перемещают плитку в смежную позицию, в качестве фундаментальной области должны иметь саму плитки треугольника. Это образ исходной плитки при повторных действиях порождающих движений покроет все пространство без наложений и пробелов.

Вторая: мы должны найти множество определяющий соотношений для порождающих группу.

Обе проблемы расщепляются на «локальную» и «глобальную». Локальная проблема состоит в следующем: если мы рассматриваем те образы исходной черепицу, которые имеют по крайней мере одну общую точку друг с другом и которые могут быть получены последовательностью порождающих движений, которые никогда не переводят исходную черепицу в позиции, не имеющие общих точек с полученной последовательностью, будут ли эту объединения черепиц покрывать определенную область полностью без пробелов и перекрытий?

Описывая эту цепь, мы определяем каждый порождающий им его обратный определенный элемент. Проиллюстрируем элементы теории с помощью небольшой программы.

Мы назовем строку S полигона и элемент g (рис.1), являющийся порождающим, он обратим ему(рис.2), ассоциированным, если g отображает исходную черепицу (в случае треугольных групп) в , так что  имеют S общую сторону ( в случае треугольный групп, порождающие совпадают со своими обратными). Пусть γ– произвольный элемент группы, мы можем узнать образы сторон черепицы в их отрезках под действием γ) 

Рисунок 1. «Основной треугольник»

Рисунок 2. «Отражение рисунка 1»

Рассмотрим теперь элемент (рис. 3)

,

где: – порождающие или их обратные.

Рисунок 3. «Элемент, состоящий из отражений основного треугольника»

Тогда мы имеем:

Лемма 1.1[2]. Образы  канонической фундаментальной области ( то есть в случае треугольной группы ) под действием

смежные образу ,полученное. под действием

и общие стороны  и - стороны , ассоциированные с . Это верно и для n=0, если обозначим единичный элемент через  .

Рассмотрим на плоскости Лобачевского [1, стр.84] треугольник S с углами , , , и через и через T обозначим группу, порожденную отражениями  относительно сторон этого треугольника.

С помощью небольшого алгоритма задаем координаты гиперболического треугольника.

Рисуем треугольник, использую образ и прообраз, задавая углы гиперболического треугольника, это является выходом.

В гиперболической плоскости дуги- прямые, перпендикулярные радиусом. Попробуем графически показать, что симметрия не сохраняет ориентацию. Выведем треугольник с углами  и другой треугольник с углами  [2, с.149].

Симметрично отобразив каждую из сторон, мы имеем фигуры такого вида.

Вычислили гиперболические симметрии относительно прямой

Задали функции, с помощью которых происходит движение гиперболического треугольника. Эти отражения, порождают подгруппу диэдров  и , в зависимости от угла, оставляющую точку центра на месте. Треугольники, полученные из треугольника S с помощью движений из группы диэдра, заполняют правильный восьмиугольник (семиугольник) – показано на рисунке 4а и рисунке 4б.

а)

Рисунок 4. а - «диэдр »

б)

Рисунок 4. б – «диэдр»

Построили дополнения гиперболического треугольника и его симметрии относительно других сторон – рисунок 5а и рисунок 5б.

а)

Рисунок 5. а – «симметрии от дополнений»

б)

Рисунок 5. б – «симметрии от дополнений»

Подгруппы и их дополнения относительно сторон, построенные путем отображения одной из сторон гиперболического треугольника.

Аналогично определяются другие движения группы.

Заключение.

На основе рассмотренных данных мы попробовали создать модель движений и симметрий гиперболического треугольника с помощью написания программы в Wolfram Mathematica 10.0. Эта программа с заданным изначально треугольником в гиперболической плоскости строит свои отображения (движения), получая диэдры и многоугольники, которые образуют подгруппы и их дополнения треугольных групп относительно сторон.