Статья:

Движение гиперболического треугольника

Журнал: Научный журнал «Студенческий форум» выпуск №3(3)

Рубрика: Физико-математические науки

Выходные данные
Куцепалова Е.С., Любин В.А., Сергеев Э.А. Движение гиперболического треугольника // Студенческий форум: электрон. научн. журн. 2017. № 3(3). URL: https://nauchforum.ru/journal/stud/3/19274 (дата обращения: 21.08.2018).
Журнал опубликован
Мне нравится
на печатьскачать .pdfподелиться

Движение гиперболического треугольника

Куцепалова Екатерина Сергеевна
студент, Кубанский Государственный Университет, РФ, г.Краснодар
Любин Виталий Александрович
старший преподаватель, Кубанский Государственный Университет, РФ, г.Краснодар
Сергеев Эдуард Александрович
канд. физ.-мат. наук, доц., Кубанский Государственный Университет, РФ, г.Краснодар

 

Введение.

В работе рассматривается широкий класс групп, заданных образующими и соотношениями, так называемые треугольные группы.

Интерес к ним обусловлен прежде всего, что они играют большую роль в геометриях:

Евклидовой, сферической, и особенно, гиперболической, в теории автоморфных функций, в топологии многообразий и т.д.

Эти группы возникают как группы, порожденные отражениями (симметриями) относительно сторон треугольника с заданными углами, построенными в соответствующих геометриях. Поскольку на плоскости и сфере не так много таких групп, то основным поставщиком этих групп является гиперболическая плоскость.

Обзор литературы.

Мы используем статью Мелисы Потер, чтобы создать связь между гиперболическими фигурами и их конструкций с использованием евклидовых инструментов; а источник Магнус В., Каррас А., Солитэр Д и монографию Ольшанский А.Ю. используем для понимания основ и геометрий.

Результаты исследования.

Первым этапом в работе была разработка и реализация алгоритма построения гиперболических треугольников с заданными углами.

Вторым этапом – разработка и реализация алгоритма построения симметрий относительно сторон построенного треугольника. Причем все это реализовано на модели гиперболической плоскости в единичном круге.

Третьим этапом в работе была геометрическая реализация слов в групповом алфавите, отношение эквивалентности, сокращения, тождества.

Процедура построения дискретных групп исходя из разбиения (покрытия) черепицы (плитки), которая является в свою очередь фундаментальной областью группы создает две проблемы[3].

Первая: мы должны доказать, что группа, порожденная движениями, которые перемещают плитку в смежную позицию, в качестве фундаментальной области должны иметь саму плитки треугольника. Это образ исходной плитки при повторных действиях порождающих движений покроет все пространство без наложений и пробелов.

Вторая: мы должны найти множество определяющий соотношений для порождающих группу.

Обе проблемы расщепляются на «локальную» и «глобальную». Локальная проблема состоит в следующем: если мы рассматриваем те образы исходной черепицу, которые имеют по крайней мере одну общую точку друг с другом и которые могут быть получены последовательностью порождающих движений, которые никогда не переводят исходную черепицу в позиции, не имеющие общих точек с полученной последовательностью, будут ли эту объединения черепиц покрывать определенную область полностью без пробелов и перекрытий?

Описывая эту цепь, мы определяем каждый порождающий им его обратный определенный элемент. Проиллюстрируем элементы теории с помощью небольшой программы.

Мы назовем строку S полигона и элемент g (рис.1), являющийся порождающим, он обратим ему(рис.2), ассоциированным, если g отображает исходную черепицу (в случае треугольных групп) в , так что  имеют S общую сторону ( в случае треугольный групп, порождающие совпадают со своими обратными). Пусть γ– произвольный элемент группы, мы можем узнать образы сторон черепицы в их отрезках под действием γ) 

 

Рисунок 1. «Основной треугольник»

 

Рисунок 2. «Отражение рисунка 1»

 

Рассмотрим теперь элемент (рис. 3)

,

где: – порождающие или их обратные.

 

Рисунок 3. «Элемент, состоящий из отражений основного треугольника»

 

Тогда мы имеем:

Лемма 1.1[2]. Образы  канонической фундаментальной области ( то есть в случае треугольной группы ) под действием

смежные образу ,полученное. под действием

и общие стороны  и - стороны , ассоциированные с . Это верно и для n=0, если обозначим единичный элемент через  .

Рассмотрим на плоскости Лобачевского [1, стр.84] треугольник S с углами , и через и через T обозначим группу, порожденную отражениями  относительно сторон этого треугольника.

С помощью небольшого алгоритма задаем координаты гиперболического треугольника.

Рисуем треугольник, использую образ и прообраз, задавая углы гиперболического треугольника, это является выходом.

В гиперболической плоскости дуги- прямые, перпендикулярные радиусом. Попробуем графически показать, что симметрия не сохраняет ориентацию. Выведем треугольник с углами  и другой треугольник с углами  [2, с.149].

Симметрично отобразив каждую из сторон, мы имеем фигуры такого вида.

Вычислили гиперболические симметрии относительно прямой

Задали функции, с помощью которых происходит движение гиперболического треугольника. Эти отражения, порождают подгруппу диэдров  и , в зависимости от угла, оставляющую точку центра на месте. Треугольники, полученные из треугольника S с помощью движений из группы диэдра, заполняют правильный восьмиугольник (семиугольник) – показано на рисунке 4а и рисунке 4б.

 

а)

Рисунок 4. а - «диэдр »

 

б)

Рисунок 4. б – «диэдр»

 

Построили дополнения гиперболического треугольника и его симметрии относительно других сторон – рисунок 5а и рисунок 5б.

 

а)

Рисунок 5. а – «симметрии от дополнений»

 

б)

Рисунок 5. б – «симметрии от дополнений»

 

Подгруппы и их дополнения относительно сторон, построенные путем отображения одной из сторон гиперболического треугольника.

Аналогично определяются другие движения группы.

Заключение.

На основе рассмотренных данных мы попробовали создать модель движений и симметрий гиперболического треугольника с помощью написания программы в Wolfram Mathematica 10.0. Эта программа с заданным изначально треугольником в гиперболической плоскости строит свои отображения (движения), получая диэдры и многоугольники, которые образуют подгруппы и их дополнения треугольных групп относительно сторон.

 

Список литературы:
1. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп, // Наука 1984, С.130–185.
2. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах, // Наука, 1989, С. 39–102.
3. Mellissa Potter, J.M.Ribando. Isometries, Tessellations and Escher, Oh My! Vol.3 №4 (2005) American Journal of UnderGrauate research.