МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

Для объективной оценки знаний учеников на самостоятельную работу рекомендуется давать им разные задачи, т.е. каждому ученику свой вариант. Поэтому особенно для молодых учителей возникает проблема составления разных задач по конкретной тематике. Рассмотрим способ составления задачи с параметром из сборника типовых экзаменационных вариантов единого государственного экзамена по профильной математике под редакцией И.В. Ященко (задание №18, 23 вариант, 2021 год).  [1, с.121]

Задача 1. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

Охарактеризуем эту систему.

Первое уравнение при  представляет собой совокупность окружностей. [2, с.261]

Второе уравнение нетрудно преобразовать в две пересекающиеся прямые.

В общем виде систему можем записать:

Замечание. В нашей задаче необходимо взять тот случай, когда прямые параллельны осям координат: , , т.е. второе уравнение системы имеет вид: .

Тогда наша система принимает следующий вид:

Приведем пример задачи, составленной нами.

Задача 1.1. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения.

Рассмотрим другой тип задач.

Задача 2 Найти минимальное значение параметра а, когда система

имеет четыре решения в натуральных числах.

Первое уравнение составлено следующим образом:

 или 

Это совокупность двух прямых, которые проходят через начало координат.

Нетрудно заметить, чтобы наша система имела 4 решения в натуральных числах, уравнение  должно иметь рациональный угловой коэффициент, который больше 0. Т.е. это обеспечивает то, что часть прямой будет располагаться в первой четверти. Для второго уравнения подбираем С так, чтобы угловой коэффициент был отрицательный. [3, с.75]

Для нашей системы нетрудно получить, что , .

Легко проверить, что   .

Таким образом, мы получили метод составления аналогичных задач, также приведем пример задачи, составленной нами.

Задача 2.1. Найти минимальное значение параметра а, когда система

имеет четыре решения в натуральных числах.

Первое уравнение системы представляет собой две пересекающиеся прямые, которые составлены следующим образом:

Чтобы угловой коэффициент прямой  был отрицательный достаточно взять, например , тогда

Второе неравенство представляет собой внутренность параболы , включая параболу. Мы привели примеры составления систем уравнений и неравенств, где в первой системе уравнение без параметра представляет собой совокупность двух пересекающихся прямых, которые параллельны осям координат; во второй системе уравнение представляет собой совокупность двух прямых, проходящих через начало координат, одна из которых находится в I и III четвертях, а вторая I и IV четвертях (фактически работает только первая прямая). Данные уравнения записаны в неявном виде.