МОДЕЛЬ НАГРЕВА И ИСПАРЕНИЯ ОДИНОЧНОЙ КАПЛИ ПРИ ДВИЖЕНИИ В КОМПРЕССОРЕ ГТД

Развитие аналитических методов термодинамического анализа газотурбинных двигателей даёт методики, позволяющие рассчитывать параметры ГТД с небольшими затратами вычислительной мощности. Это даёт возможность быстро выполнять расчёты ГТД разных компоновок.

В данной работе предлагается модель определения температуры капли и её диаметра при движении в тракте компрессора ГТД.

Используются следующие допущения:

- количество капель крайне незначительно и не оказывает значимого влияния на параметры рабочего тела компрессора;

- используется полная температура компрессора. Статическая температура отличается не сильно, но определить в каждой точке её сложнее;

- капля в каждый момент времени движется со скоростью потока; из этого следует, что она не осаждается на корпус и лопатки;

- диффузией пренебрегаем, вследствие этого испарение происходит не при психрометрической температуре, а при температуре насыщения;

- излучением пренебрегаем;

- физические свойства, кроме теплоты парообразования, постоянны.

Модели испарения капель в литературе либо не идут дальше испарения при постоянном давлении, либо представляют собой постановку для численного моделирования [1-5]. Задача настоящей работы – сделать аналитическую методику.

Главная особенность процесса испарения капли в ГТД – это быстро увеличивающееся давление окружающей среды, которое приводит к значительному росту температуры насыщения и уменьшению теплоты парообразования.

Процесс делится на три этапа – нагрев капли, испарение и смешение и теплообмен пара. Так как принято допущение о невлиянии капли на параметры среды, третий пункт моделью не реализуется.

Математическая модель нагрева капли

где

 – плотность жидкости, кг/м³

 – диаметр капли, м

 - теплоёмкость капли, Дж/(кг*К)

 – температура капли, К

 – число Нуссельта для капли, так как относительного движения нет, число Нуссельта равно двум для данного случая

 – теплопроводность окружающей газовой среды, Вт/(м*К)

 – начальная температура газовой среды, К

 – начальное давление газовой среды, Па

 – текущее давление среды, Па

 – показатель адиабаты газовой среды

 – текущая температура капли, К

 – время, с

Время предлагается учитывать следующим образом. Вводится предположение о линейном изменении давления относительно времени

Если прикладывать методику по ступеням, то это соответствует приблизительно степени реактивности 0,5, что максимально близко к случайной степени реактивности.

После преобразований получаем дифференциальное уравнение

Это НЛДУ, решается методом Бернулли. В результате получаем уравнение

Функция  задаётся как

Определять значение функции предлагается численным интегрированием. Функцию можно преобразовать к виду нижней неполной гамма-функции, но один из её аргументов будет отрицательным, и это не позволяет использовать ряд для неё в непосредственном виде.

Константа определяется как

Это определение константы для расчёта компрессора в целом. Предполагается, что температура капли равна температура воздуха на входе. Здесь  – это температура капли. При расчёте по ступеням в  передаётся температура капли с выхода предыдущей ступени.

Для движения капли диаметром 0,2 мм в воздухе имеет место набор данных

Таблица 1.

Набор данных для воздуха

Параметр p₂ нужен только для определения параметра с. Параметры взяты произвольно.

Рисунок 1. График процесса нагрева капли

График позволяет приблизительно определить температуру капли и давление среды, начиная с которых начинается испарение капли. Эта температура уточняется методом последовательных приближений. Для указанных данных это параметры 988370 Па и 454,17 К.

Математическая модель испарения:

Температуру насыщения и теплоту парообразования аппроксимируем в степенную функцию при помощи метода наименьших квадратов

Введём обозначения

Получим дифференциальное уравнение

Это тоже НЛДУ.

Решение НЛДУ:

Интеграл распадается на два интеграла, которые после преобразования приводятся к нижней неполной гамма функции, при этом можно воспользоваться рядом для её определения[6]

После всех преобразований получим

В результате использования модели получены следующие графики.

Рисунок 2. График процесса в Р-Т координатах

Рисунок 3. График диаметра капли в зависимости от давления

Рисунок 4. График температурного перепада в зависимости от давления

Рисунок 5. График коэффициента теплоотдачи в зависимости от давления

Рисунок 6. График плотности теплового потока в зависимости от давления

Рисунок 7. График теплового потока в зависимости от давления

Коэффициент теплоотдачи и плотность теплового потока растут экспоненциально, в соответствии с этим диаметр капли убывает с ускорением. Процесс испарения капли самоускорящийся – чем меньше диаметр, тем выше коэффициент теплоотдачи при постоянном числе Нуссельта; температурный напор быстро растёт, медленно замедляясь. Это связано с постепенным выполаживанием кривых степенной функции с показателем меньше 1. Тепловой поток сначала растёт под действием этих факторов, затем падает из-за критического уменьшения площади теплообмена. Этот тепловой поток по своей сути представляет отток тепла от газовой среды. Из этого следует, что охлаждение газовой среды станет неэффективным, начиная с некоторого диаметра.