Задачи на применение дифференциальных уравнений
Конференция: LXXIV Студенческая международная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум»
Секция: Физико-математические науки
![](https://nauchforum.ru/themes/mix_and_match/images/logo.jpg)
LXXIV Студенческая международная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум»
Задачи на применение дифференциальных уравнений
Аннотация. В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, решение которых сводится к дифференциальным уравнениям. Пусть происходит некоторый процесс, например, физический, биологический или химический. Нас интересует определённая функциональная характеристика этого процесса, например, закон изменения температуры, давления или массы с течением времени. Надо отметить, что разные по содержанию задачи приводятся к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Это будет видно из рассмотренных ниже примеров.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, общее решение, начальное условие, интегралы по частям, сила.
Пример 1. Ракета с начальной массой m0 кг взлетает с поверхности Земли в вертикальном направлении. Газы, образованные сгоранием топлива, выбрасываются постоянными долями массы в единицу времени и с постоянной скоростью
, где
и
>0. Найти скорость движения ракеты и расстояние, пройденное за время t.
Решение. Движение ракеты происходит путём выброса струи горящего газа с определённой скоростью относительно ракеты. Ракета несёт с собой топливо, которое составляет главную часть переменной массы ракеты. Поэтому движение ракеты должны рассматривать как движение тела с переменной массой.
Согласно второму закону динамики изменение количества движения прямо пропорционально движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Если Q – количество движения тела с массой m, F – действующая сила, – скорость движения тела, то в момент времени t
Пусть m=m(t) – масса ракеты в любой момент времени t после начала движения, – её скорость относительно Земли в момент времени t, F1 – внешняя сила, действующая на ракету, F2 – реактивная сила, направленная по движению ракеты и возникающая за счёт выбросов газов из сопла ракеты. Тогда суммарная сила
и равенство (4) принимает вид
Реактивная сила определяется за счёт изменения количества движения убывающей массы. Пусть
– убыль массы за время
. Масса
имеет скорость
, т.е. скорость –
относительно ракеты. Тогда количество движения убывающей массы
равно
. По условию скорость
постоянная, поэтому
Подставляя (3) в равенство (2), получаем дифференциальное уравнение движения ракеты
По условию задачи из ракеты выбрасывается газ массой за единицу времени, тогда за время t – масса
. Тогда масса
ракеты, спустя время t, составит
где – начальное значение массы ракеты, т.е.
. Скорость газа
относительно ракеты известна и равна
. Внешняя сила
– ускорение свободного падения. С учётом (5), (6) и значения
, уравнение (4) принимает вид
или
Интегрируя дифференциальное уравнение (7), найдём его общее решение
Пусть . Тогда из (8) имеем
и с учётом этого значения
соотношение (8) примет вид
Полагая в (9) и интегрируя полученное уравнение, получим
Интегрируя по частям, вычислим последний интеграл:
Тогда, подставляя (11) в (10) и учитывая начальное условие , найдём искомый закон движения ракеты
Таким образом, на основании формул (9) и (12) в любой момент времени можем определить скорость и высоту подъёма ракеты.
Пример 2(Химическая реакция). В результате химической реакции между жидкими веществами X и Y образуется новое вещество Z. Найти количество вещества Z в любой момент времени после начала реакции, если: а) в момент начала реакции количество веществ X и Y равно соответственно x и y литрам; б) температура в процессе реакции не меняется; в) из каждых m литров вещества X и n литров вещества Y образуется m+n вещества Z.
Решение. Предварительно напомним, что скорость, с которой образуется новое вещество Z, называется скоростью реакции. Действующая масса или концентрация реагирующего вещества определяется количеством молей этого вещества в единице объема.
Одним из основных законов теории химических реакций является закон действующих масс, согласно которому скорость химической реакции при постоянной температуре прямо пропорциональна произведению концентраций веществ, участвующих в данный момент времени в реакции.
Пусть -количество вещества Z через время t после начала реакции. Тогда
скорость образования вещества Z, т.е. скорость реакции. Из условий задачи следует, что к моменту времени t в химическую реакцию вступило
литров вещества X и
литров вещества Y. Тогда к указанному моменту осталось
литров вещества X и
литров вещества Y. На основании закона действующих масс приходим к дифференциальному уравнению
которое можно переписать в следующем виде:
где
Разделяя переменные в уравнении (13), получим
Интегрируя последнее уравнение, имеем
где
- произвольная постоянная.
Отсюда
Из начального условия находим
. Тогда из (14) получим
Допустим, что , тогда из формулы (15) следует, что
при
. Если
, то
при
. Если
, то и
и уравнение (13) принимает вид
Снова разделяя в (16) переменные и интегрируя, получим
Из условия и соотношения (17) найдем значение
. Тогда равенство а (17) с учетом значения
, примет вид
Отсюда при
.
![](/sites/default/files/publ_rinc.png)