Статья:

Задачи на применение дифференциальных уравнений

Конференция: LXXIV Студенческая международная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум»

Секция: Физико-математические науки

Выходные данные
Эсмурзиева Ф.М., Султыгова М.А. Задачи на применение дифференциальных уравнений // Молодежный научный форум: электр. сб. ст. по мат. LXXIV междунар. студ. науч.-практ. конф. № 5(74). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_interdisciplinarity/5(74).pdf (дата обращения: 23.05.2024)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 28 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

Задачи на применение дифференциальных уравнений

Эсмурзиева Фатима Мусаевна
студент, Ингушского Государственного Университета, РФ, г. Магас
Султыгова Милана Ахметовна
студент, Ингушского Государственного Университета, РФ, г. Магас
Кодзоева Фира Джабраиловна
научный руководитель, канд. физ.-мат. наук, доцент, Ингушского Государственного Университета, РФ, г. Магас

Аннотация. В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, решение которых сводится к дифференциальным уравнениям. Пусть происходит некоторый процесс, например, физический, биологический или химический. Нас интересует определённая функциональная характеристика этого процесса, например, закон изменения температуры, давления или массы с течением времени. Надо отметить, что разные по содержанию задачи приводятся к одинаковым или сходным дифференциальным уравнениям. Это будет видно из рассмотренных ниже примеров.

 

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, общее решение, начальное условие, интегралы по частям, сила.

 

Пример 1. Ракета с начальной массой m0 кг взлетает с поверхности Земли в вертикальном направлении. Газы, образованные сгоранием топлива, выбрасываются постоянными долями массы  в единицу времени и с постоянной скоростью  , где   и >0. Найти скорость движения ракеты и расстояние, пройденное за время t.

Решение. Движение ракеты происходит путём выброса струи горящего газа с определённой скоростью относительно ракеты. Ракета несёт с собой топливо, которое составляет главную часть переменной массы ракеты. Поэтому движение ракеты должны рассматривать как движение тела с переменной массой.

Согласно второму закону динамики изменение количества движения прямо пропорционально движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Если Q – количество движения тела с массой  m,  F – действующая сила,  – скорость движения тела, то в момент времени  t

Пусть  m=m(t– масса ракеты в любой момент времени  t  после начала движения,    – её скорость относительно Земли в момент времени  t,  F1 – внешняя сила, действующая на ракету, F – реактивная сила, направленная по движению ракеты и возникающая за счёт выбросов газов из сопла ракеты. Тогда суммарная сила    и равенство (4) принимает вид 

Реактивная сила    определяется за счёт изменения количества движения убывающей массы. Пусть  – убыль  массы за время  . Масса   имеет скорость , т.е. скорость –  относительно ракеты. Тогда количество движения убывающей массы    равно  . По условию скорость  постоянная, поэтому

Подставляя (3) в равенство (2), получаем дифференциальное уравнение движения ракеты

По условию задачи из ракеты выбрасывается газ массой  за единицу времени, тогда за время  t – масса  . Тогда масса    ракеты, спустя время t, составит

где   – начальное  значение массы ракеты, т.е. . Скорость газа  относительно ракеты известна и равна . Внешняя сила

 – ускорение свободного падения. С учётом (5), (6) и значения , уравнение (4) принимает вид

или

Интегрируя дифференциальное уравнение (7), найдём его общее решение

Пусть . Тогда из (8) имеем  и с учётом этого значения  соотношение (8) примет вид

Полагая в (9)  и интегрируя полученное уравнение, получим

Интегрируя по частям, вычислим последний интеграл:

Тогда, подставляя (11) в (10) и учитывая начальное условие , найдём искомый закон движения ракеты

Таким образом, на основании формул (9) и (12) в любой момент времени   можем определить скорость и высоту подъёма ракеты.

Пример 2(Химическая реакция). В результате химической реакции между жидкими веществами X и Y образуется новое вещество Z. Найти количество вещества Z в любой момент времени после начала реакции, если: а) в момент начала реакции количество веществ X и Y равно соответственно x и y литрам; б) температура в процессе реакции не меняется; в) из каждых m литров вещества X и n литров вещества Y образуется m+n вещества Z.

Решение. Предварительно напомним, что скорость, с которой образуется новое вещество Z, называется скоростью реакции. Действующая масса или концентрация реагирующего вещества определяется количеством молей этого вещества в единице объема.

 Одним из основных законов теории химических реакций является закон действующих масс, согласно которому скорость химической реакции при постоянной температуре прямо пропорциональна произведению концентраций веществ, участвующих в данный момент времени в реакции.

Пусть -количество вещества Z через время t после начала реакции. Тогда  скорость образования вещества Z, т.е. скорость реакции. Из условий задачи следует, что к моменту времени t в химическую реакцию вступило  литров вещества X и  литров вещества Y. Тогда к указанному моменту осталось   литров вещества X и  литров вещества Y. На основании закона действующих масс приходим к дифференциальному уравнению

которое можно переписать в следующем виде:

где 

Разделяя переменные в уравнении (13), получим

Интегрируя последнее уравнение, имеем

     где  - произвольная постоянная.

Отсюда

Из начального условия  находим . Тогда из (14) получим

Допустим, что , тогда из формулы (15) следует, что  при . Если , то  при . Если , то и  и уравнение (13) принимает вид

Снова разделяя в (16) переменные и интегрируя, получим

Из условия  и соотношения (17) найдем значение . Тогда равенство а (17) с учетом значения , примет вид

Отсюда  при .

 

Список литературы:
1. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва – 1967.
2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1958
3. Сабитов К. Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. Москва – 2005. 
4. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.