Статья:

Приближение произвольной функции классическим и модифицированным оператором sinc-аппроксимаций

Конференция: XV Студенческая международная научно-практическая конференция «Технические и математические науки. Студенческий научный форум»

Секция: Физико-математические науки

Выходные данные
Панкеева М.Д. Приближение произвольной функции классическим и модифицированным оператором sinc-аппроксимаций // Технические и математические науки. Студенческий научный форум: электр. сб. ст. по мат. XV междунар. студ. науч.-практ. конф. № 4(15). URL: https://nauchforum.ru/archive/SNF_tech/4(15).pdf (дата обращения: 02.12.2022)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

Приближение произвольной функции классическим и модифицированным оператором sinc-аппроксимаций

Панкеева Мария Дмитриевна
студент, СГУ, РФ, г. Саратов

 

Аннотация. Данная сатья посвящена изучению аппроксимативных свойств sinc-приближений, классических и модифицированных sinc-аппроксимаций непрерывной на отрезке функции.

 

Суть эксперимента

Впервые sinc-приближения появились в работах Плэйна в качестве инструмента приближённого вычисления корней многочленов.

Позднее, в связи с необходимостью развития теории кодирования сигналов, Э. Борель и Е. Т. Уиттекер ввели понятие кардинальной функции, сужение с оси на отрезке [0,π], которая выглядит так:

К настоящему времени достаточно фундаментально исследована проблема sinc -аппроксимации аналитической в полосе, содержащей действительную ось функции, экспоненциально убывающей на бесконечности.

Для проведения эксперимента необходимо ознакомиться с исследованиями аппроксимативных свойств операторов типа Лагранжа, построенных по решениям задачи Коши с дифференциальными уравнениями второго порядка и ставящих в соответствие любой, определённой на отрезке [0, π] функции f, непрерывную функцию таким образом:

Подбирая соответствующим образом функции qλ, получается единое представление в виде данного оператора различных конструкций Лагранжева типа, таких как классические интерполяционные многочлены, кардинальные функции Уиттеккера, интерполяционные процессы Лагранжа. Если взять qλ ≡ 0, λn = n2, ℎ(λn) = n, то операторы в случае задачи Коши превращаются в усечённые кардинальные функции Уиттекера. Поэтому в численных экспериментах в качестве функций y(x, λ) будем брать sin nx.

Приближать произвольную функцию будем классическим оператором sinc-аппроксимаций и модифицированным оператором типа Лагранжа. Реализация будет прослеживаться на графике.

Приближаемая функция выглядит следующим образом:

Оператор выглядит так:

Численный эксперимент

Выполнение построения графика производится с помощью ПО MATLAB. MATLAB- это пакет прикладных программ для решения задач, технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете.

В работе приводится график, представленный на рисунке.

Рисунок. График численного эксперимента

 

В соответствии с рисунком, чёрным цветом изображён график численной реализации функции sin x на отрезке [0, π]; синим цветом изображён график по данным с помехами. В качестве приближаемой использована функция (3). На данной функции классические sinc-аппроксимации дают всплеск; у модифицированных операторов такого не происходит. Красным цветом изображён график приближения с помощью классических sinc-аппроксимаций (1). Также изображён график зелёного цвета, реализованный  с помощью заданного оператора (4). Оба оператора рассмотрены для n=100. С ростом n всплеск погрешности в районе узла под номером k0=19 для sinc-аппроксимаций (1) будет расти как ln n, в то время как оператор (4) обеспечит равномерное приближение на всё отрезке [0, π].

Таким образом, в ходе работы над статьей были исследованы аппроксимативные свойства sinc-приближений, погрешность в точке классических sinc-аппроксимаций, приближена произвольная функция классическим и модифицированным оператором.

 

Список литературы:
1. Трынин, А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам. / А. Ю. Трынин // Математика. Механика.-Саратов: изд-во Сар. ун-та, 2005 – Т. 7 – С. 124-127.
2. Трынин, А.Ю. О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций./ А.Ю. Трынин. Уфимский математический журнал, 7,(2015)
3. Трынин, А.Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на
отрезке./А.Ю. Трынин. Математика. Известия высш. уч-х заведений, 6, 
66-78 2008)
4. Трынин, А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на [0, π]/ А.Ю. Трынин. Алгебра. Анализ.-Саратов: изд-во Саратов ун-та, (2010)
5. Трынин, А.Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синкаппроксимаций. / А. Ю. Трынин. Алгебра. Анализ, 27, 116-132, (2015) 6. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков: Успехи математических наук. 1998, Т.53, выпуск 6(324), С. 53-128.