Статья:

КАК ТЕОРИЯ КОЛМОГОРОВА АРНОЛЬДА МОЗЕРА И ХАОС ПРОЯВЛЯЮТ СЕБЯ В ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ЖИЗНИ?

Конференция: LX Студенческая международная научно-практическая конференция «Технические и математические науки. Студенческий научный форум»

Секция: Физико-математические науки

Выходные данные
Хаиров Р.Р. КАК ТЕОРИЯ КОЛМОГОРОВА АРНОЛЬДА МОЗЕРА И ХАОС ПРОЯВЛЯЮТ СЕБЯ В ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ЖИЗНИ? // Технические и математические науки. Студенческий научный форум: электр. сб. ст. по мат. LX междунар. студ. науч.-практ. конф. № 4(60). URL: https://nauchforum.ru/archive/SNF_tech/4(60).pdf (дата обращения: 05.12.2024)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

КАК ТЕОРИЯ КОЛМОГОРОВА АРНОЛЬДА МОЗЕРА И ХАОС ПРОЯВЛЯЮТ СЕБЯ В ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ЖИЗНИ?

Хаиров Рафаэль Рашидович
студент, ФГАОУ ВО Московский политехнический университет, РФ, г. Москва
Кожухова Валентина Валерьевна
научный руководитель, старший преподаватель кафедры Иностранные языки, ФГАОУ ВО Московский политехнический университет, РФ, г. Москва

 

Аннотация. Определены понятия хаоса и порядка для использования в динамических системах. Даны определения динамических и гамильтоновых систем. Обнаружены основные различия между слабо диссипативной теорией КАМ и классической теорией. Рассмотрены примеры использования слабо диссипативной теории КАМ в практических целях. Показана зависимость системы от начальных условий.

 

Ключевые слова: Динамические системы, дифференциальные уравнения, численный расчет, хаос, порядок

 

Порядок и хаос:

Для начала давайте определим, что мы называем порядком и что такое хаос в этой статье.

Порядок — это предсказуемое поведение системы, которое может быть решено общим образом

Хаос – решается только численно, чувствительно к начальным условиям. [2]

Далее мы рассмотрим гамильтоновы системы, которые подчиняются следующей системе уравнений.

Где H - гамильтониан или интеграл энергии уровня. [1]

Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера рассматривает объекты без потерь энергии. Примером такой системы является маятник без трения. Обратите внимание на фазовый портрет (рис. 1) – линии замкнуты; они показывают, что маятник возвращается в исходное положение. Две верхние кривые описывают более общий случай, когда маятник совершает полный оборот вокруг своей оси.

 

Рисунок 1. Фазовый портрет

 

Чтобы описать следующие примеры, нам нужна теорема Пуанкаре-Бендиксона: она гласит, что если мы рассматриваем не все векторное поле, а некоторую область и знаем, как оно ведет себя вокруг этой области, то траектории сходятся либо в устойчивое положение, либо в периодическую траекторию.

Система Лоренца. Лоренц упростил систему (1) и получил систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2). Мы видим, как ведут себя решения упрощенной системы. Это хаотично, и видно, что есть три стабильных положения. Два цикла и одна точка 0,0,0.

 

Рисунок 2. Графическое изображение

 

Такая система может описывать погодные условия. Н о поскольку это скоро войдет в цикл, необходимо постоянно менять начальные условия, иначе мы придем к циклу. Поэтому нет смысла прогнозировать погоду более чем на неделю вперед. Дальнейший прогноз более точен, если брать среднее арифметическое за последние годы. Следующий пример: задача о n телах является одним из наиболее важных примеров. Рассматривается наша Солнечная система. Вычислить движение Земли вокруг Солнца не проблема, если забыть о существовании других планет – в системе есть порядок. Но если мы добавим хотя бы Марс, то система вообще становится неразрешимой, и она переходит в царство хаоса. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера рассматривает не только движение объектов; ее основная идея заключается в рассмотрении траекторий. Улетит ли Юпитер к звезде Бетельгейзе? Поменяются ли Марс и Земля местами? Вот его основная суть. Но мы рассматривали системы без потерь энергии. И что произойдет, если мы добавим их слабые потери? Слабая диссипация в таких системах породила новую слабо диссипативную теорию Колмогорова-Арнольда-Мозера [2,3,4]. Вот основные отличия от классической теории КАМ:

1. СДТ КАМ применяется к системам, в которых есть слабая диссипация, тогда как классическая теория КАМ применяется к гамильтоновым системам без диссипации.

2. СДТ КАМ рассматривает не только регулярные орбиты, но также и стохастические орбиты, которые могут возникать в системах с диссипацией.

3. СДТ КАМ использует методы стохастической динамики, такие как усреднение Ландау-Лифшица, для изучения динамики систем с диссипацией.

Если перейти к формулам, то мы фактически "убьем" гамильтониан и напишем дифференциальное уравнение на H. [1]

В простейшем случае это выглядит примерно так (рис. 3). Обратите внимание на пример фазового портрета. Он уже становится все более непредсказуемым

 

Рисунок 3. Фазовый портрет

 

Рассмотрим примеры: маятник с трением. Его фазовый портрет уменьшается по мере того, как сила трения уменьшает амплитуду и маятник приходит в устойчивое положение. Слабо диссипативная теория проявляется в намотанной трубке. Он обнаружил необычное явление: в центре струи газ, выходящий из циклона, имел более низкую температуру, чем исходная. WDT CAM позволяет рассчитать вихревой эффект в такой трубе. Не только в физике нашлось применение, но и в информатике. Система Бонхеффера-ван дер Поля, простейшая модель нейрона. Это также можно исследовать с помощью WDT CAM. Экономика, биология, информатика, физика... теория Колмогорова-Арнольда-Мозера и ее слабо диссипативная версия очень распространены.

В докладе рассматриваются динамические системы и их важность. Казалось бы, за таким странным названием скрывается связь с нашим миром и вполне привычными вещами.

 

Список литературы:
1. Bogdanov R.I., Nagornykh S.N. and Bogdanov M.R. New Nature of the Noise of Thermally Stimulated Electron Emission from Rods under Cyclic Torsion.: Journal of Surface Investigation, X-ray, Synchrotron and Neutron Techniques, 2007. - С. 157-166.
2. Бекман И. Н. СИНЕРГЕТИКА Курс лекций Москва, 2010 
3. Р. И. Богданов, М. Р. Богданов СЛАБОДИССИПАТИВНА Я ВЕРСИ Я ТЕОРИ И КОЛМОГОРОВА-АРНОЛЬДА-МОЗЕРА: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РАСЧЕТОВ. 2008. 
4. Богданов Р.И., Богданов М.Р. Структурообразование в слабо-диссипативной теории Колмогорова-Арнольда-Мозера // Доклады Академии наук. - 2008. - Т. 418. - № 6. - С. 754-758