Статья:

Комплексные числа в электротехнике

Конференция: XLVI Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: технические и математические науки»

Секция: Технические науки

Выходные данные
Андре М.В. Комплексные числа в электротехнике // Молодежный научный форум: Технические и математические науки: электр. сб. ст. по мат. XLVI междунар. студ. науч.-практ. конф. № 6(46). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_tech/6(46).pdf (дата обращения: 13.12.2018)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

Комплексные числа в электротехнике

Андре Мариану Виегащ
студент 1 курс, факультет электроэнергетики и электротехника СКФУ, РФ, г. Ставрополь
Григорян Лусине Арсеновна
научный руководитель, канд. пед. наук, доц. кафедры алгебры, геометрии и анализа СКФУ, РФ, г. Ставрополь

 

Комплексным числом z называется выражение вида , где  и  действительные числа, а  так называемая мнимая единица,  и это выражение в виде  называется алгебраической формой . мы можем обозначать , а  мнимой частью . В электротехнике мы обозначаем . Комплексное число  можно изобразить точкой A(x;y) плоскости Oxy такой. Плоскость на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

 

Рисунок 1. Комплексной плоскостью

 

Модуль |z| и аргумент α комплексная числа получаем x=|z|cosα, y=|z|sinα. Следовательно, комплексное число  можно записать в виде:

Или

                                             (1)

Такая запись (1) комплексного числа называется тригонометрической формой.

Формула Эйлера:

                                                  (2)

Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на комплексной плоскости. С помощью формулы Эйлера в уравнении (2), проекция функции  на ось +1 равна , а на ось +j равна . Если вместо функции  подставим функцию , то получим такое уравнение:

                                    (4)

Угол  в формуле (2) изменяется прямо пропорционально времени как показано на рисунке (3), где вместо величины  подставим  . То у нас получится такое уравнение:

                                                             (5)

Тогда  (6)

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток  формулы (6) можно представить Im или Im .

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени . При этом вектор  равен , где  называют комплексной амплитудой тока .

 

Рисунок 2.

 

Рассмотрим тригонометрическую функцию A(t) представленную в виде комплексной величины на комплексной плоскости.

 

Рисунок 3. Вектор на комплексной плоскости

 

На рисунке (3) так как меняется угол в течении времени так и синусоидальная функция меняется также, это значит что в синусоидальная функция зависит от комплексных чисел, в электрической цепи мы видим, что ток и напряжение ведут себя как синусоидальная функция. Угол начальной фазы равен:

                                                           (7)

Между мгновенными значениями синусоидальных величин и их комплексными значениями существует взаимно однозначное соответствие. Совместное решение алгебраических уравнений, для определения комплексных значений токов и напряжений всех элементов цепи, то есть применение комплексного метода расчета, достаточно простая задача. По найденным комплексным значениям можно записать при необходимости и соответствующие им мгновенные значения синусоидальных величин.

Первый закон Кирхгофа: сумма токов узле равна нулю.

где: n – число ветвей, подключенных к узлу.

Второй закон Кирхгофа: сумма ЭДС в любом контуре электрической цепи равна сумме поденный напряжений на всех элементах этого контура.

где: n – число источников ЭДС в контуре, m- число элементов с сопротивлением Rk в контуре.

Решаем один задач для синусоидально тока который показана на рисунок 4, требуються найти  , знай что С1=64.96мф и R1=18ом L1=79.58mH.

 

Рисунок 4. Синусоидальный ток

 

В цепи (рис. 4) при действии источника синусоидальной =, это выражение мы записываем в форме комплексного числа =, так мы получим =250B, ток также синусоидален:  и напряжение на резистивном, индуктивном и емкостном элементах.

Первый мы найдем  и одно сопротивление где проходит ток I3 и обозначим Zx

В формуле Эйлера можем записать Zx=30,81

Рассчитаем в ветви a-b где происходит ток I2:

В комплексной форме –jXc можем записать как Zy=49.

Получим сопротивление эквивалентное:

 

Ом

C помощью закон Ома рассчитаем электрический ток:

I2=

I3=

Выводы: с помощью комплексного числа это возможность обозначать синусоидальная тока на комплексной плоскость. Когда мы используем комплексные числа для расчета цепей помогает нам понимать сложней цепи. В ряды Фурье любая произвольная функция можем записать в периодических бесконечных условиях.

 

Список литературы:
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Изд. б-е, перераб. и доп. Учебник для студентов энергетических и электротехнических вузов. – М., «Высш. школа», 1973. 752 с. С илл.
2. Димитрий Трофимович. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – 13-е изд. 2015. 608 с 
3. Иванов И. И и др. Электротехника: Учебник для вузов / И. И. Иванов, Г. И. Соловьев, 1997 г.
4. Касаткин А. С. и М. В Немцов –Электротехника: Учебное издание / 1996 г.
5. Прохоров Ю. В. Большой энциклопедический словарь математика, 1988 г, 278–279 с.