Факторизация ограниченных аналитических функций в верхней полуплоскости

Принцип максимума модуля

Теорема. Пусть функция  аналитична в ограниченной области , непрерывна в замкнутой области  и не является постоянной. Тогда максимум модуля  функции  в замкнутой области  достигается только на границе области .

Пусть  – единичный круг (рис 1). Обозначим через  – семейство аналитических, непрерывных в  функций. Пусть  – заданные точки, лежащие в .

Рисунок 1. Заданные точки в единичном круге К

Обозначим через . Тогда, любую функцию  из этого семейства  можно представить в виде , где

                                                                                                              (1)

– конечное произведение Бляшке в единичном круге, а . Рассмотрим аналогичную задачу в верхней полуплоскости. Обозначим  – верхняя полуплоскость (рис. 2). Обозначим  – семейство аналитических, непрерывных в  функций. Пусть  – заданные точки, лежащие в :

Рисунок 2. Заданные точки в верхней полуплоскости

Обозначим через , а

                                                                                                      (2)

– конечное произведение Бляшке в верхней полуплоскости. Здесь функция  отображает верхнюю полуплоскость на единичный круг (рис. 3):

Рисунок 3. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг

Если , то . Пусть . Обозначим через . Очевидно, что  - аналитическая, непрерывная в  функция. Докажем, что . Предположим противное. Пусть существует точка  такая, что . Сначала заметим, что если , то

Лемма.

Имеет место следующее неравенство

где:  – некоторая константа ,  – заданное число.

Доказательство.

Обозначим

Так как

то  непрерывна на отрезке . Обозначим

(ясно, что ). Поэтому

и, значит, получаем .

Напомним, что для любых комплексных чисел  и  выполняется неравенство .

Пусть теперь  – заданное комплексное число. Тогда имеет место следующее неравенство

Возьмем любое комплексное число  такое, что .

Рисунок 4. Заданное комплексное число а в единичном круге

Тогда . Отсюда

Далее докажем, что

Для этого рассмотрим разность по модулю:

Следовательно

Значит

После этого рассмотрим еще одну разность по модулю:

Отсюда

                                                                                                     (3)

Наконец, вернемся к исходной задаче. Пусть  – некоторое число . Так как

то

Обозначим через . Отсюда из вывода неравенства формулы (3), получим

При этом выбираем  настолько большим, что и . Получаем (см. лемму), если , то

(еще раз, для всех  таких, что ). Поэтому, если , то

Возьмем число  настолько малым, что . Отсюда, при  значение  для всех  таких, что .

Тогда модуль аналитической функции  достигает максимума внутри области  – верхний полукруг. Получаем противоречие. Отсюда . Обратно, если , то функция . В самом деле, . Кроме того .

Итак, любую функцию из множества  можно представить в виде , где .