Статья:

Группы подстановок

Журнал: Научный журнал «Студенческий форум» выпуск №25(161)

Рубрика: Физико-математические науки

Выходные данные
Гоменюк Е.А. Группы подстановок // Студенческий форум: электрон. научн. журн. 2021. № 25(161). URL: https://nauchforum.ru/journal/stud/163/96061 (дата обращения: 29.03.2024).
Журнал опубликован
Мне нравится
на печатьскачать .pdfподелиться

Группы подстановок

Гоменюк Екатерина Александровна
студент, Белгородский государственный национальный исследовательский университет, РФ, г. Белгород

 

Теория групп начала оформляться в качестве самостоятельного раздела математики в конце восемнадцатого века. Многие работы по теории групп посвящены исследованию класса групп, называемых группами подстановок (или группами перестановок). Группы подстановок особенно интересны тем, что с их помощью можно получить конкретные представления всех конечных групп.

 

Множество взаимно однозначных отображений множества из  элементов на себя составляет группу отображений. Отображение — это записанные в виде двух строк, заключенных в скобки, где элементы из области определения стоят в верхней строке, а элементы из области значений — в нижней. Такие отображения называют подстановками, а группы, элементами которых являются подстановки - группами подстановок [3].

Решение задач по теме «Группы подстановок»

1) Составить таблицу умножения в группе ; Каков порядок группы  

2) Найдите порядок каждого элемента этой группы?

3) Какие подгруппы есть в данной группе

4) Разложите эту группу по подгруппе четных подстановок.

Решения:

1) Пусть – группа всех подстановок третьей степени, т.е.

,

где

,    ,   ,

,    ,   .

Вычисляя попарные произведения этих элементов, получаем для данной группы следующую таблицу:

Таблица 1.

Попарные произведения

 

Так как в группе 6 элементов, то порядок  равен 6.

2)  – порядок элемента , если  и  – наименьшее число, для которого это выполняется [1].

Следовательно , значит, порядок ,

, значит, порядок ,

, значит порядок ,

, значит, порядок ,

, значит, порядок ,

, значит, порядок .

3)Множество  является подгруппой группы .

4) Составим правый и левый смежные классы элемента  по подгруппе :

,

.

Таким образом левый и правый классы элемента  не совпадают. Составляя теперь правые смежные классы всех элементов группы  получим:

,  

.

Отсюда очевидно, что различных правых смежных классов оказалось только три:

поскольку классы некоторых различных элементов, например  и , совпадают (эти элементы входят в один и тот же класс).

Группа имеет следующую нормальную подгруппу . Это подгруппа четных подстановок [2].

Вычисления, аналогичные вычислениям примера 1, показывают, что найдутся только два различных правых класса:

 и .

Правый из них является правым смежным классом для каждого из элементов подгруппы , второй – для всякого другого элемента группы .

 

Список литературы:
1. Кострикин, А. И. Введение в алгебру: учеб. для Вузов / А.И. Кострикин. – М.: Физматлит, 2001. – 318 с
2. Кофман А., Фор Р. Современная математика. Пер. с франц. —  В.П. Мякишева и В.Е. Тараканова. / Б.Л. Севастьянова. –М.: Наука, 1975. —271 c.
3. Постников, М.М.  Теория Галуа. / М.М. Постников. — М.: Изд-во Физ-мат. литературы, 1963. - 220 с.