К вопросу о практической реализации концепции гуманитарно ориен-тированного преподавания математики

«Гуманитарное образование – это процесс становления духовно культурной и, значит, свободной личности, то есть личности, способной руководствоваться разумом в своих убеждениях и помыслах» [6, с. 35].

В основе федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования [1] и федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования [2] лежит системно-деятельностный подход, но в них ничего не говорится о том, какой должна быть эта деятельность. Это неудивительно, поскольку деятельность определяется спецификой изучаемого предмета. В математике признается истинным только то, что доказано, поэтому, изучив готовое или открыв свое доказательство, ученик сам убеждается в справедливости результата. «Он сам, посредством своего разума, вносит изменения в свои представления. И каждый раз при этом он практическим образом учится властвовать своим разумом над своими убеждениями и помыслами» [6, с. 28].

Один из возможных способов организации деятельности учащихся на уроке математики, в результате которой они сами могли бы находить доказательства, подсказывает концепция гуманитарно ориентированного преподавания математики, разработанная доктором педагогических наук, профессором А. Х. Назиевым [6]. Данная концепция отвечает на следующие вопросы: Что? Зачем? Как?: Что такое математика? Зачем ее нужно преподавать? Как это нужно делать? Ответы на эти вопросы автор концепции формулирует следующим образом:

1) Математика – это доказательство.

2) Преподавать математику – значит систематически побуждать учащихся к открытию собственных доказательств.

3) Преподавание математики является незаменимым средством формирования человека культурного: мыслящего, нравственного и свободного.

Рассмотрим несколько примеров, показывающих практическое применение концепции гуманитарно ориентированного преподавания математики, в рамках изучения темы «Элементы статистики и теории вероятностей» при подготовке к ГИА – 9.

Пример 1. В мешке содержится 5 черных, 4 красных и 3 белых шара. Последовательно из мешка наугад вынимают 3 шара, причем каждый извлеченный шар возвращают в мешок перед тем, как вынимают следующий. Найдите вероятность того, что первый шар окажется черным, второй — красным и третий — белым [3].

Поиски. Определим общее количество шаров в мешке, т.е. . Затем рассмотрим следующие события:

A – первый шар окажется черным.

B – второй шар окажется красным.

C – третий шар окажется белым.

Для события A благоприятными являются 5 исходов из 12, для события B – 4 исхода из 12, а для события C – 3 исхода из 12. Все эти события являются независимыми, т.е. вероятность одного события не влияет на вероятность наступления другого.  Рассмотрим еще одно событие D, состоящее в совместном появлении событий A, B и C.  Для нахождения вероятности его наступления воспользуемся формулой произведения вероятностей . Оформим решение.

Решение. Общее количество шаров в мешке равно 12, т.е. . Найдем вероятность наступления следующих событий (отношение благоприятных исходов к общему числу исходов):

A – первый шар окажется черным.

B – второй шар окажется красным.

C – третий шар окажется белым.

Все эти три события независимые, соответственно вероятность наступления события D, состоящего в совместном появлении событий A, B и C, вычисляется по формуле .

Ответ. . 

Пример 2. Вероятность того, что новый принтер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит два года или больше, равна 0,88. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но не менее года [4]. 

Поиски. В данной задаче речь идет о несовместных событиях. Напомним, что «два события называются несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, т.е. наступление одного из них не исключает наступление другого» [3].

Итак, пусть событие A – «новый принтер прослужит меньше двух лет, но не меньше года», событие B – «новый принтер прослужит два года или больше», событие C – «новый принтер прослужит ровно два года», событие A+B+C – «новый принтер прослужит больше года». Оценим вероятность наступления события A.

Все эти события являются несовместными, а вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. . Также отметим, что вероятность наступления того, что принтер сломается строго через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю, т.е. . Поэтому  и  Оформим решение.

Решение. Пусть имеются события:

A – «новый принтер прослужит меньше двух лет, но не меньше года».

«новый принтер прослужит больше года».

B – «новый принтер прослужит два года или больше».

C – «новый принтер прослужит ровно два года».

A+B+C – «новый принтер прослужит больше года».

Найдем . Так как события A, B, C являются несовместными, то .

Получим

Ответ. 0,07.

Пример 3. Перед началом первого тура по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 51 спортсмен, среди которых 14 спортсменов из России, в том числе Д. Найдите вероятность того, что в первом туре Д. будет играть с каким-

Поиски. В данной задачи все исходы равновозможны (т.е. шансы наступления этих исходов одинаковы), поэтому вероятность будем находить как отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов.

Пусть А это событие – «в первом туре Д. будет играть с каким-либо спортсменом не из России». Оценим вероятность его наступления. Всего участников 51, одно место занято Д., значит свободным мест 50, откуда получаем всего возможных исходов .

Всего участников 51, из которых 14 из России, в том числе Д., тогда благоприятных исходов для наступления события A – 37, т.е. . Остается найти вероятность того, что в первом туре Д. будет играть с каким-либо спортсменом не из России, формуле . Оформим решение.

Решение. Всего участников 51, одно место занято Д., значит свободным мест 50, откуда получаем всего возможных исходов . Благоприятных исходов (т.е. спортсмен окажется не из России)  .

Найдем вероятность того, что в первом туре Д. будет играть с каким-либо спортсменом не из России, по формуле .  Получим .

Ответ. 0,74.

Пример 4. Правильную игральную кость бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 8. Найдите вероятность события «при втором броске выпало 6 очков» [4].

Поиски. Пусть событие A – «при втором броске выпало 6 очков». Оценим его вероятность. Сначала определим все возможные пары, когда сумма очков больше 8:

1) При бросании первой кости выпало 3 очка (меньше не берем, т.к. не получится сумма большая 8), тогда при бросании второй кости может получиться: 3+6 (меньше не берем, т.к. не получится сумма большая 8).

2) При бросании первой кости выпало 4 очка, тогда при бросании второй кости может получиться: 4+5; 4+6.

3) При бросании первой кости выпало 5 очков, тогда при бросании второй кости может получиться: 5+4; 5+5; 5+6.

4) При бросании первой кости выпало 6 очков, тогда при бросании второй кости может получиться: 6+3; 6+4; 6+5; 6+6.

Итак, всего получили 10 исходов, когда при бросании правильной игральной кости дважды сумма выпавших очков больше 8. Из них «при втором броске выпало 6 очков» – 4 благоприятных исхода. Осталось найти вероятность наступления данного события. Оформим решение.

Решение. Пусть событие A – «при втором броске выпало 6 очков». Выпишем все возможные пары, когда при бросании правильной игральной кости дважды сумма очков больше 8:

3+6; 4+5; 4+6; 5+4; 5+5; 5+6; 6+3; 6+4; 6+5; 6+6.

Т.е. всего исходов , из них благоприятных (когда «при втором броске выпало 6 очков») .

Найдем вероятность по формуле .

Ответ. 0,4.