Статья:

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ НА УРОКЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

Конференция: LVIII Студенческая международная научно-практическая конференция «Гуманитарные науки. Студенческий научный форум»

Секция: Педагогика

Выходные данные
Алымчева О.В. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ НА УРОКЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ // Гуманитарные науки. Студенческий научный форум: электр. сб. ст. по мат. LVIII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 12(58). URL: https://nauchforum.ru/archive/SNF_humanities/12(58).pdf (дата обращения: 21.07.2024)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ НА УРОКЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

Алымчева Ольга Васильевна
студент, Мордовский Государственный Университет им М. Е. Евсевьева, РФ, г. Саранск
Ульянова Ирина Валентиновна
научный руководитель, канд. пед. наук, доцент, Мордовский Государственный Университет им М. Е. Евсевьева, РФ, г. Саранск

 

Аннотация. В процессе работы учитель намного часто сталкивается с такими фактами. Как когда ученик не умеет решать квадратные уравнения вообще. Но есть ребята, которые решают. Но только одним способом, и то по формуле с нахождением дискриминанта. И при таких знаниях урок математики проходит не очень продуктивно. Главная задача учителя – научить школьников решать квадратные уравнения по первой формуле. И только тогда, когда учащиеся в совершенстве смогут применять первую формулу для решения квадратных уравнений, последовательно вводятся вторая, третья и четвертая формулы. Учителю важно показать эффективность применения этих формул. В результате такого подхода к обучению решению квадратных уравнений и предлагаемым способам тренингов большинство учеников хорошо запомнят все четыре способа, а первую формулу будут знать все без исключения учащиеся.

 

Ключевые слова: Уравнения, квадратные уравнения, дискриминант, теорема Виета, способ «переброски».

 

На уроке решения одной задачи ученик услышит разные рассуждения, мнения, увидит различные приемы решения. Кроме того, у учителя уменьшается возможность навязать свой способ рассуждения, значит, уменьшается потребность учить по шаблону «делай как я», а у ученика, наоборот, появляется возможность действовать так, как он хочет. Таким образом, учитель формирует личность, способную думать, отстаивать свое мнение, находить выход из создавшейся ситуации, а в перспективе разбираться в жизни, в людях[2].

Уроки одной задачи не оставляют равнодушными ни одного ученика. Возрастает мотивация обучения математике, улучшаются результаты самостоятельных и контрольных работ. 

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

  1. Разложение левой части уравнения на множители.
  2. Метод выделения полного квадрата.
  3. Решение квадратных уравнений по формуле.
  4. Графическое решение квадратного уравнения.
  5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным  знаком. Пример:

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5.

Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: X1= 2, X2= 3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице. Пример:

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член:

 

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно -15, а сумма равна -2. Эти числа -5 и 3.

Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни  делим на первый коэффициент.

Ответ: x1= -5/3, x2= 1.

6. Решение уравнений способом "переброски". Рассмотрим  квадратное уравнение:

Умножая обе его части на а, получаем уравнение:

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению y2 + by + ас = 0, равносильному данному.

Его корни Y1 и Y2. Найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

 x1= y1/a, x2 = y2/a.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный  квадрат[4]. Пример:

"Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение

 

Согласно обратной теореме Виета 

.

Ответ: 

7. Свойства коэффициентов квадратного  уравнения.  Пусть дано квадратное уравнение:

.

Если a + b + c = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения  равна нулю), то x1 = 1.

Если: 

Пример. 

Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то x1 = 1, x2= -208/345.

Ответ: x1 = 1, x2= -208/345.

Для примера

Т.к.

Ответ: x= -1, x2= -115/132.

Есть другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. Но их применение более сложное.

8. Решение уравнений с использованием теоремы Безу. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x - α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α). Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка[3].

Пример.

Разделим Р(x) на

Ответ: x1=2, x2=3.

Как раз, изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем дать советы своим одноклассникам, что есть не только стандартных способы решения, но и решения способом переброски и решение уравнений по свойству коэффициентов, так как они более понятны.

 

Список литературы:
1. Осколкова В.Г. Дифференцированный подход как залог успешного обучения учащихся математике // Актуальные проблемы теории и методики обучения информатике, математике и экономике. В 2 т. Т. 2 : материалы молодежной всероссийской научно – практической конференции. Шадринск: ШГПУ. 2016. С. 210.
2. Тодарчук В.Г. Применение коллективных и индивидуально- дифференцированных форм обучения при изучении учащимися нового материала // Современное научное общество, образование и наука: материалы научно – практической конференции. Тамбов. 2016.
3. Мордкович, А. Г. Алгебра 8 класс. В двух частях. Часть 1: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. 12 - е изд., стер.-М. : Мнемозина,2011. 215 с.
4. Мордкович, А. Г. Алгебра 8 класс. В двух частях. Часть 2: задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. 12 - е изд., стер.-М. : Мнемозина,2011. 232 с.