СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ НА УРОКЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

Аннотация. В процессе работы учитель намного часто сталкивается с такими фактами. Как когда ученик не умеет решать квадратные уравнения вообще. Но есть ребята, которые решают. Но только одним способом, и то по формуле с нахождением дискриминанта. И при таких знаниях урок математики проходит не очень продуктивно. Главная задача учителя – научить школьников решать квадратные уравнения по первой формуле. И только тогда, когда учащиеся в совершенстве смогут применять первую формулу для решения квадратных уравнений, последовательно вводятся вторая, третья и четвертая формулы. Учителю важно показать эффективность применения этих формул. В результате такого подхода к обучению решению квадратных уравнений и предлагаемым способам тренингов большинство учеников хорошо запомнят все четыре способа, а первую формулу будут знать все без исключения учащиеся.

Ключевые слова: Уравнения, квадратные уравнения, дискриминант, теорема Виета, способ «переброски».

На уроке решения одной задачи ученик услышит разные рассуждения, мнения, увидит различные приемы решения. Кроме того, у учителя уменьшается возможность навязать свой способ рассуждения, значит, уменьшается потребность учить по шаблону «делай как я», а у ученика, наоборот, появляется возможность действовать так, как он хочет. Таким образом, учитель формирует личность, способную думать, отстаивать свое мнение, находить выход из создавшейся ситуации, а в перспективе разбираться в жизни, в людях[2].

Уроки одной задачи не оставляют равнодушными ни одного ученика. Возрастает мотивация обучения математике, улучшаются результаты самостоятельных и контрольных работ. 

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

1. Разложение левой части уравнения на множители.
2. Метод выделения полного квадрата.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
4. Графическое решение квадратного уравнения.
5. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным  знаком. Пример:

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5.

Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: X₁= 2, X₂= 3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице. Пример:

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член:

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно -15, а сумма равна -2. Эти числа -5 и 3.

Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни  делим на первый коэффициент.

Ответ: x₁= -5/3, x₂= 1.

6. Решение уравнений способом "переброски". Рассмотрим  квадратное уравнение:

Умножая обе его части на а, получаем уравнение:

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению y² + by + ас = 0, равносильному данному.

Его корни Y₁ и Y₂. Найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем

 x₁= y₁/a, x₂ = y₂/a.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный  квадрат[4]. Пример:

"Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение

Согласно обратной теореме Виета 

.

Ответ: 

7. Свойства коэффициентов квадратного  уравнения.  Пусть дано квадратное уравнение:

.

Если a + b + c = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения  равна нулю), то x₁ = 1.

Если: 

Пример. 

Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то x₁ = 1, x₂= -208/345.

Ответ: x₁ = 1, x₂= -208/345.

Для примера

Т.к.

Ответ: x₁ = -1, x₂= -115/132.

Есть другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. Но их применение более сложное.

8. Решение уравнений с использованием теоремы Безу. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x - α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α). Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка[3].

Пример.

Разделим Р(x) на

Ответ: x₁=2, x₂=3.

Как раз, изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем дать советы своим одноклассникам, что есть не только стандартных способы решения, но и решения способом переброски и решение уравнений по свойству коэффициентов, так как они более понятны.