Многоточечная сингулярная краевая задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассматривается система

с краевыми условиями

где  ;

правые части системы  (1)  заданы в области

мерное вещественное евклидово пространство, а при  они могут быть, вообще говоря, неограниченными. В этом случае задачу (1)(2) обычно называют сингулярной. В работах  исследованы различные сингулярные краевые задачи. Насколько нам известно сингулярная задача (1)(2) не изучалась.

Введём обозначения: множество -мерных вектор-функций с непрерывными на  элементами: множество -мерных вектор-функций с абсолютно непрерывными на  элементами; пространство суммируемых со степенью   на  отрезке   функций; множество  матриц, элементы которых принадлежат 

множество функций определённых в области  и удовлетворяющих локальным условиям Каратеодори; множество –мерных векторов, элементы которых принадлежат множество всех функций принадлежащих  для любого , если только  ; аналогично вводится множество  .

Определение 1. Вектор-функция     называется решением задачи (1),(2), если     удовлетворяет условиям (2) и почти всюду на  системе (1).

Определение  2.  Будем говорить, что выполнено условие (А), если элементы матрицы   таковы, что  

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

с краевыми условиями

где  алгебраическое дополнение элемента    определителя )

Теорема 1. Пусть задана матрица   и выполнено условие , тогда задачи (1)(2) и (3)(4) эквивалентны.

Доказательство . Пусть задача  (1)(2)  имеет решение   

Введём функции   с помощью равенств:

Из (5) имеем

Подставляя  (5),(6) в систему (1) получим

Решая (7) относительно   получим (3): то есть функции   являются решением системы (3). Покажем, что   удовлетворяет и условию (4).

Так как   удовлетворяет условиям (2), то в силу условия  имеют место равенства

Отсюда

Следовательно имеет место равенство (4). Итак, функции  являются решением задачи (3)(4).

Пусть функции  являются решением задачи (3)(4). Тогда имеем тождество (3), из которых после умножения на   можно получить тождество (7) или

Следовательно функции (5) являются решением системы (1); из (5) и условия  следует, что они также удовлетворяют и условиям (2), что и требовалось.

Теорема 2. Пусть  

и в области

соблюдаются неравенства

, где     неотрицательны, не убывают по внедиагональным элементам в области    и для любого     найдётся такое положительное число  ,что

какова бы ни была     удовлетворяющая условиям

  неотрицательна и

если   

Функции таковы, что имеет место условие . Тогда задача (1)(2) имеет хотя бы одно решение

Теорема 3. Пусть

   и в области соблюдаются неравенства

где функции   таковы, что имеет место условие , где    ,   и    для каждого   удовлетворяют условиям теоремы 2; матрица   и система дифференциальных неравенств

не имеет нетривиального решения   удовлетворяющего условиям  ;  вектор-функция

      неотрицательна, не убывает по  в

.

Тогда задача (1)(2) имеет хотя бы одно решение  . При этом, если   и     не удовлетворяют указанным условиям, то найдётся удовлетворяющая условиям (3) векторафункция   для которой задача (1)(2) не имеет решения.

Следствие 1. Пусть

и в области   соблюдаются неравенства (9), где  ,   ,  и    удовлетворяют условиям теоремы 2, а  условиям теоремы 3.

Тогда задача (1)(2) имеет хотя бы одно решение  , если только матрица  неотрицательна и удовлетворяет одному из следующих трёх условий:

1.        и

  .

2.      постоянная матрица и все её собственные числа по модулю меньше чем   

3.       и

   и все собственные числа матрицы    по модулю меньше единицы.

Следствие 2. Пусть

и в области    соблюдаются неравенства

где   удовлетворяют условиям (А),    неотрицательная постоянная матрица,     и      . Пусть, кроме того, найдётся такое неотрицательное число , что

и все собственные числа матрицы  по модулю меньше, чем   . Тогда  задача (1)(2) имеет хотя бы одно решение  (которое, вообще говоря, не является абсолютно непрерывным на .

Теорема 4. Пусть

и в области    соблюдаются неравенства

где      удовлетворяют условию (А),     и     для каждого    удовлетворяют условиям теоремы 2,      а     непрерывные и положительные в  функции, удовлетворяющие  условиям

Тогда задача (1)(2) имеет хотя бы одно решение

Теорема 5. Пусть при    соблюдаются неравенства

где  удовлетворяют условиям (А),  , удовлетворяет условиям теоремы 3. Тогда задача (1)(2) имеет не более одного решения.

Следствие 1. Если при   соблюдаются неравенства (10), где   удовлетворяют (А), а матрица   одному из условий 1), 2), 3) следствия 1 теоремы 3, то задача (1)(2) имеет не более одного решения.

Следствие 2. Если при   соблюдаются неравенства

где  удовлетворяют условиям (А),    и      условиям следствия 2 теоремы 3, то задача (1)(2) имеет не более одного решения.

Доказательство теорем  2-5 и следствий 1-2 вытекает из теоремы 1 с учётом результатов работы  [ 2 ].