Современные тенденции в вопросе оптимизации металлических конструкций

Теория оптимального проектирования конструкций относится к одному из наиболее быстроразвивающихся разделов механики деформируемых сред и строительной механики. Она сочетает достижения в области теории упругости и пластичности с теорией оптимизации, в результате чего разрабатываются методики целенаправленного проектирования металлоконструкций, что, в свою очередь, делает проблему оптимизации сложных конструкций актуальной для многих отраслей современной промышленности, включая строительную. Таким образом, оптимизация конструктивных решений технических сооружений имеет широкое распространение и направлено на получение более экономичного продукта, включая снижение затрат на строительство и эксплуатацию объекта [3; 8].

Понятие оптимизации конструкций включает три тесно связанные, но различные по своей постановке и решению, проблемы: оптимизации размеров, формы и топологии структур.

Проблема оптимизации размеров формулируется, например, как задача определения оптимального распределения толщины пластины или сечения стержня. Оптимальное распределение толщины минимизирует такие физические величины как податливость, максимальные напряжения, средняя энергия деформации, прогиб при удовлетворении условий равновесия и других ограничений на состояние конструкции и (или) параметры проектирования. К числу параметров проектирования может быть отнесена, например, толщина пластины, а к переменным состояния – прогиб. Основной особенностью задач оптимизации размеров является то, что область проектирования известна априори, и она фиксирована в процессе оптимизации.

Целью задач оптимизации формы является нахождение формы области, т.е. сама форма является переменной проектирования [9].

Топологическая оптимизация структур представляет собой математический подход, состоящий в решении вопроса оптимального распределения материала в ограниченном пространстве с учетом действующих нагрузок и граничных условий таким образом, чтобы решение удовлетворяло требуемым условиям. При этом анализ конструкции выполняется методом конечных элементов, в то время как сама оптимизация может выполняться одним из известных методов оптимизации. В отличие от традиционной оптимизации, топологическая не требует указания параметров (то есть независимых переменных, подвергаемых оптимизации) в явном виде. Здесь ими является функция распределения материала по объему конструкции [2; 6].

Один из подходов топологической оптимизации состоит в минимизации податливости и максимизации функции жесткости при ограничениях в виде граничных условий и условий нагружения. Так же в приоритете стоит максимальное достижение в конструкции состояния равнопрочности.

Общая формулировка проблемы оптимизации заключается в сведении к минимуму или максимуму функции цели в зависимости от заданных условий.

Вид функции цели определяет и постановку задачи оптимизации: детерминированную однокритериальную, детерминированную многокритериальную и вероятностную. Чаще всего используются детерминированные постановки, когда задается определенный критерий оптимальности конструкции, в той или иной степени характеризующий её эффективность. В качестве такого критерия обычно используют минимум веса (материалоемкость), минимум стоимости, энергоемкость конструкции. В последнее время в связи с рассмотрением жизненного цикла конструкции начинают использовать критерий приведенных затрат, учитывающий расходы не только на этапе создания конструкции, но и на этапе её эксплуатации.

Многочисленные примеры расчета показывают, что при оптимизации конструкций с заданной геометрической схемой достаточно надежные результаты получаются при использовании самых простых критериев оптимальности, таких как: масса (объем) или стоимость [7].

В случае же, когда геометрическая схема конструкции может меняться, результаты топологической оптимизации могут зависеть от принятого критерия оптимальности, поэтому важно его формулировке уделять особое внимание, стараясь сделать его более обобщенным и универсальным, что позволит отойти от установившейся весовой оптимизации. По этому критерию, минимуму потенциальной энергии системы, допускающей варьирование ее конфигурации, соответствует минимум расхода материала. При весовой оптимизации этот показатель достигается лишь в исключительных случаях. Следует отметить, что универсальный критерий удачно использован при оптимизации топологии однопролетных одноэтажных рам [4; 11].

Известно, что при оптимальном проектировании строительных конструкций применяется обширный ряд аналитических, полуаналитических и численных методов оптимизации. Наиболее простые задачи оптимизации решаются с применением классических подходов дифференциального исчисления, динамического и математического программирования, индуктивного метода [5]. Достаточно разработан метод проекции градиента [1], позволяющий находить локальные экстремумы при сложных ограничениях в виде равенств и неравенств. В последние годы активно используются методы эволюционного моделирования (генетические алгоритмы) [10; 12].

Одним из направлений в решении задач оптимизации являются численные методы, реализованные в системах автоматизированного проектирования.

Ниже рассмотрим сущность и особенности наиболее применяемых и известных на сегодняшний день численных методов топологической оптимизации.

Первым представим SIMP-метод (Solid Isotropic Material with Penalization), основополагающая идея которого заключается в создании поля виртуальной плотности, представляющей аналог некоторой реальной характеристики объекта. Назначение метода состоит в уменьшении податливости конструкции в результате перераспределения материала в рассматриваемой области пространства при известных граничных условиях. Результатом его использования является получение равнопрочного объекта в рамках рассматриваемой задачи. Широкое применение SIMP получил в аддитивных технологиях (технологиях 3D печати), способных создавать объекты необходимой формы.

Второй метод – Level Set. Отличительной его особенностью является использование идеологии неявного представления граничных линий и поверхностей посредством функций с целью последующего изучения деформаций этой введенной функции.

Третьим и четвертым, соответственно, рассмотрим метод эволюционной оптимизации конструкции (Evolutionary Structural Optimization – ESO) и двунаправленной эволюционной оптимизации конструкции (Bidirectional Evolutionary Structural Optimization -BESO). Применяются они как для натурных крупногабаритных конструкций, так и для оптимальной конфигурации материалов на микро- и наноуровне, но наибольшая эффективность методов наблюдается при оптимизации топологии непрерывных структур, т.е. при вычислении наилучшего расположения и геометрии пустот внутри области моделирования.

Принципиальным отличием метода BESO от ESO является то, что индекс чувствительности пустых элементов определяется путем линейной экстраполяции поля смещений, получаемого в результате конечно-элементного анализа. После чего заполненные элементы с минимальным значением индекса чувствительности удаляются из структуры, а пустые элементы с наибольшими значениями чувствительности заполняются материалом. Количества удаляемых и добавляемых элементов на каждой итерации определены двумя независимыми друг от друга параметрами: отношением удаления и отношением включения.

Упомянутые методы различаются вариантом представления объекта конструирования, рядом изменяемых параметров структуры и алгоритмом оптимизации. Их схожесть заключается в применении конечно-элементного (КЭ) анализа при оценке смещений (деформаций) и использовании определенного критерия оптимальности. Содержание итерационной части алгоритма включается в себя: выполнение КЭ-анализа текущей модели для определения области смещений и деформаций, вычисление податливости модели; при несущественном улучшении критерия оптимальности процесс прекращается. В противном случае, согласно выбранному методу и учитывая наложенные ограничения, осуществляется изменение параметров конфигурации, производится перестроение КЭ-модели, вычисление области смещений, податливости и т.д.

Все перечисленные методы оптимизации имеют схожие трудности: проблема «шахматной доски», т.е. образования в теле конструкции не связанных объемов материалов, зависимость от сеточного разбиения и проблема локального минимума. Для решения задачи «шахматного поля» следует использовать различные схемы фильтрации чувствительности, описание и способ применения которых изложен авторами Huang X., Xie Y.M. в книге Evolutionary topology optimization of continuum structures [13]. Метод управляемого периметра в некоторых случаях позволяет преодолевать зависимость от разбиения сетки, приводящую к получению различных «оптимальных топологий» за счет использования различных конечно-элементных сеток. Однако, окончательно проблема КЭ-разбиения до сих пор не решена.

Также следует отметить, что упомянутые выше трудности частично нашли свое решение в методе двунаправленной эволюционной оптимизации конструкций – BESO, который предполагает анализировать на каждой итерации напряженное состояние конечных элементов, в результате чего происходит удаление менее нагруженных и, наоборот, добавление элементов, заполненных материалом, в области, напряженное состояние которых выше некоторого значения.

В результате углубленного анализа и обобщения имеющегося массива информации следует, что динамика развития средств и методов оптимизации конструкций сохранит свою интенсивность и позволит в обозримом будущем найти решения возникающих трудностей. Наиболее перспективным направлением развития процесса оптимизации представляется разработка такой системы, возможности которой позволят учитывать несколько критериев оптимальности, широкий круг ограничений, стоимость используемого материала. Также немаловажной задачей перед инженерами стоит ускорение процесса проектирование, повышение его качества и модификация алгоритма оптимизации в сторону большей автоматизации.