Положительные рациональные числа (операторная интерпретация)

Positive rational numbers (operator interpretation)

Alexander Lokshin

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Professor of MPGU, Russia, Moscow

Elena Sagomonyan

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of Moscow State University named after MV Lomonosov, Russia, Moscow

Аннотация. Как известно, в педагогической литературе обычно используются три различных интерпретации понятия «натуральное число». А именно: количественная, порядковая и «число как мера величины». В данной заметке развивается четвертый подход, предложенный ранее одним из авторов. А именно, натуральное число рассматривается как оператор, действующий на одномерном векторном пространстве. При таком подходе удается существенно упростить введение рациональных чисел, также интерпретируя их как операторы на одномерном векторном пространстве и одновременно избавившись от ряда громоздких вычислений.

Abstract. As is known, in pedagogical literature three different interpretations of the concept of "natural number" are commonly used. Namely: quantitative, ordinal, and "number as a measure of magnitude." This note develops the fourth approach proposed earlier by one of the authors. Namely, a natural number is considered as an operator acting on a one-dimensional vector space. With this approach, it is possible to significantly simplify the introduction of rational numbers, also interpreting them as operators on a one-dimensional vector space and at the same time getting rid of cumbersome calculations.

Ключевые слова: оператор; интерпретация; натуральное число; рациональное число; векторное пространство.

Keywords: operator; interpretation; natural number; rational number; vector space.

Как известно, в педагогической литературе обычно используются три различных интерпретации понятия «натуральное число». А именно: количественная, порядковая и «число как мера величины». В данной заметке  развивается четвертый подход, предложенный ранее одним из авторов [1]. А именно, натуральное число рассматривается как оператор, действующий на одномерном векторном пространстве. При таком подходе удается существенно упростить введение рациональных чисел, также интерпретируя их как операторы на одномерном векторном пространстве и одновременно избавившись от ряда громоздких вычислений (см., например, [2] , [3]).

1.Рассмотрим прямую l с началом координат в точке O и множество E всевозможных расположенных на этой прямой направленных  отрезков, начало которых совпадает с точкой O. 

Определение 1. Пусть OA и OB – два направленных отрезка из системы Е. Определим сумму  отрезков  OA и OB  следующим образом. При помощи параллельного переноса переместим отрезок ОВ так, чтобы его начало совпало с концом отрезка ОА. Новое положение конца отрезка ОВ обозначим через С. По определению положим:

OA + OB = ОС.                                                                                                          (1)

Будем теперь рассматривать произвольное натуральное число n как оператор, который удлиняет отрезки из системы Е в n раз.

Далее, каждому натуральному числу n сопоставим оператор n^-1, укорачивающий отрезки из системы Е в n раз.

Утверждение 1. Для любых натуральных n и p справедливы операторные равенства:

np = pn;                                                                                                                (2)

np^-1 = p^-1n;                                                                                                              (3)

n^-1p^-1 = p^-1n^-1.                                                                                                           (4)

Замечание. Операторные равенства (2) – (4) означают, что для любого отрезка f из системы Е

n(pf) = p(nf);                                                                                                              (2’)

n(p^-1f) = p^-1(nf);                                                                                                            (3’)

n^-1 (p^-1 f)  = p^-1 (n^-1 f).                                                                                                       (4’)

Доказательство утверждения1. Соотношение (2’) (а тем самым и (2)) очевидно.

Докажем теперь, например, (3’).

Нетрудно видеть, что равенство (3’) равносильно следующему равенству , получающемуся из (3’) применением оператора p к обеим частям (3’):

p(n(p^-1f)) = p(p^-1(nf)).                                                                                                      (3”)

В левой части операторы p и n могут быть переставлены в силу (2), затем p и p^-1 сокращаются. Таким образом , левая часть (3”) равна nf и тем самым , очевидно, оказывается равной правой части (3”). Отсюда и следует справедливость (3).

Равенство (4) доказывается аналогично.

Теорема 1. Пусть k, p, t, n – произвольные натуральные числа, понимаемые как операторы, действующие на Е. Тогда

kp^{- 1} = tn^-1 ↔    kn =pt.                                                                                                       (5)

Для доказательства достаточно применить к обеим частям (5) оператор pn и воспользоваться утверждением 1.

Замечание. В школьной математике не говорят об операторах, действующих на отрезки из системы Е, а говорят так: «дробь k/p выражает длину рассматриваемого отрезка при заданной единице длины». Соотношение (5) в привычных школьных обозначениях, очевидно, будет выглядеть так:

k/p = t/n  ↔    kn =pt.                                                                                                         (5’)

Замечание. Каждый оператор вида kp^-1 (или, что то же самое, вида k/p) мы будем называть дробью. Теорема 1 позволяет нам ввести в рассмотрение класс равных дробей, такой класс мы будем называть положительным рациональным числом. Совокупность всех положительных рациональных чисел будем обозначать через Q₊ 

2. Сложение дробей и сложение рациональных чисел

Пусть

  и   - две дроби. Пусть, далее, f – произвольный направленный отрезок из системы Е.

Тогда f  и f  - два направленных отрезка, также, очевидно, принадлежащих системе Е.

Поэтому сумма этих отрезков определена (см. определение 1). Остается лишь выяснить, как эта сумма выражается непосредственно через отрезок f.

Имеем в силу теоремы 1:

 f  +  f = f  +  f = f .                                                                                                  (6)

Так как направленный отрезок f из системы Е был взят произвольным, то (6) задает соответствие между множеством (упорядоченных) пар дробей и множеством дробей:

( ;  )  → .                                                                                                               (7)

Это соответствие принято называть правилом сложения дробей и записывать в виде:

 +   = .                                                                                                                (7’)

Замечание. Хотя в (7’) речь формально идет о сложении дробей, фактически (7’) представляет собой инструкцию, объясняющую, как следует складывать рациональные числа. А именно, пусть v и w – два рациональных положительных числа. Чтобы сложить v и w , достаточно взять произвольную дробь k/p  v  и произвольную дробь t/n  w , сложить эти дроби по правилу (7’) и рассмотреть класс дробей, равных  . Этот класс и будет представлять собой сумму v + w.

Заметим, что проверять корректность этого определения, т.е. независимость суммы v + w от выбора конкретных дробей k/p  v  и  t/n  w не нужно. Действительно, замена этих дробей в (6) на любые равные им дроби, очевидно, не меняет результирующего отрезка. Следовательно, результирующая дробь в правой части (6) обязана замениться при этом на дробь, равную  .

3. Умножение дробей и умножение рациональных чисел

Рассмотрим отрезок из системы Е, получающийся в результате последовательного применения дробей   и   к отрезку f. Опираясь на теорему 1, легко получаем, что

 (  f) = f.                                                                                                                 (8)

Поскольку отрезок f  в (8) произволен, заключаем, что равенство (8) задает соответствие между множеством упорядоченных пар дробей и множеством дробей:

( ;  )  → .                                                                                                                 (9)

Это соответствие принято называть правилом умножения дробей и записывать в виде:

     =  .                                                                                                                (10)

Как и в случае сложения, полученное соотношение фактически представляет собой инструкцию, объясняющую, как следует умножать положительные рациональные числа.

Корректность этой инструкции (т.е. независимость получающегося положительного рационального числа от выбора конкретных дробей из соответствующих классов) доказывается точно так же, как в случае сложения.

4. Сравнение дробей и сравнение рациональных чисел

Пусть, как и выше,   и   - две дроби, f – произвольный направленный отрезок из системы Е.

Определение 2 (сравнение дробей). Скажем, что   >   , если отрезок f длиннее, чем  f .

Нетрудно проверить, что

  >     kn >pt.                                                                                                           (11)

Определение 3 (сравнение положительных рациональных чисел). Пусть v и w – два числа из Q₊  ; f – произвольный отрезок из системы Е. Скажем, что v > w, если отрезок vf длиннее, чем отрезок wf.

Очевидным образом, (11) представляет собой инструкцию, описывающую процедуру сравнения положительных рациональных чисел. А именно, чтобы сравнить два положительных рациональных числа v и w , достаточно взять (произвольным образом) по одной дроби из каждого из этих классов и воспользоваться соотношением (11). 

Корректность этой инструкции не вызывает сомнений.

Замечание. Вычитание и деление рациональных чисел определяются обычным способом - как операции, обратные соответственно сложению и умножению.