Статья:

Математические модели теплообмена организма человека

Конференция: LII Студенческая международная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: естественные и медицинские науки»

Секция: Медицина и фармацевтика

Выходные данные
Костанов Д.Р. Математические модели теплообмена организма человека // Молодежный научный форум: Естественные и медицинские науки: электр. сб. ст. по мат. LII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 12(51). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_nature/12(51).pdf (дата обращения: 21.09.2019)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 206 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

Математические модели теплообмена организма человека

Костанов Даниил Романович
студент, Курский государственный медицинский университет, РФ, г. Курск
Снегирева Людмила Валентиновна
научный руководитель, канд. биол. наук, доцент, заведующая кафедрой «Физики, информатики и математики», Курский государственный медицинский университет, РФ, г. Курск

 

Математическое моделирование процессов теплообмена в организме человека позволяет решать широкий круг задач в медицине, физиологии, спорте, при конструировании одежды, создании систем жизнеобеспечения. В настоящее время построены математические модели с достаточно подробной физиологической информацией, учитывающей анатомическую структуру тела, механизмы переноса тепла. Различают математические модели с сосредоточенными параметрами (ММСП) и с распределенными параметрами (ММРП).

При построении ММСП тело разбивают па n частей. Тепловое состояние каждого элемента характеризуется среднеобъемными значениями температур ткани  и крови в артериях  и в венах .Часто считают, что теплопередача кондукцией между торцевыми поверхностями элементов модели мала, и ею пренебрегают. Кровотоки в элементах представляют системой параллельных ветвей. Потоки крови смешиваются в резервуаре, включающем сердце, легкие и крупные венозные сосуды. Температура крови в элементах одинакова. Температура венозной крови равна температуре ткани элемента. Объемная скорость крови на входе и выходе элемента одинакова. Теплообмен между близлежащими артериями и венами не учитывается.

Тогда тепловое состояние ткани элемента может быть описано с помощью уравнения теплового баланса (1)

где i - номер цилиндра; j - номер слоя i-го цилиндра; -удельная теплоемкость;  - масса; - температура;  аккумулируемое i-м элементом тепло, идущее на повышение теплосодержания ткани; -количество тепла, выделяемое в результате обменных метаболических процессов; -кондуктивный тепловой поток; - радиационный тепловой поток излучением; - конвективный тепловой поток;- тепловой поток при испарении пота с поверхности кожи;  - конвективный тепло вой поток кровью; - тепловой поток с дыхательных путей.

Адекватность математической модели процессам переноса тепла в организме определяется тем, насколько корректно будут записаны выражения, входящие в уравнение (1) и связывающие тепловые потоки с искомыми усредненными температурами ткани и крови.

Рассмотрим подробнее» каждое из слагаемых, записанных в правой части уравнения (1).

Количество тепла  раccчитывают по потреблению кислорода элементами модели в единицу времени, учитывая калорический эквивалент кислорода, который зависит от вида окисляемого субстрата (2),

где - количество теплоты на единицу кислорода, затраченного на окисление, Дж/мл O2- количество кислорода, затраченного на окисление в единицу времени, мл /ч.

Кондуктивный тепловой поток между элементами ij и ij + 1, проходящий через их общую границу, задается в виде (3),

где λ – коэффициент теплопроводности; а = 2 - длина i-го цилиндрического элемента; -средний радиус j-го слоя; - средний радиус (j+1) -го слоя).

Конвективный перенос тепло кровью обеспечивает главным образом вынужденную конвекцию в организме человека. Специфика этого процесса определяется сложной топологией кровеносной системы, размерами сосудов, их взаимным расположением в тканях, объемной скоростью кровотока:

                               …………………………… (4)

где - удельная теплоемкость крови; - плотность крови; - объем крови, протекающей и единицу времени; -температура артериальной крови.

Основное допущение, принятое в выражении (4), состоит в том, что температура артериальной крови  при движении по крупным сосудам имеет всюду одинаковую температуру, a температура крови, выходящей из органа, равна температуре ткани органа. Теплопередача конвекцией происходит между поверхностью тела и средой:

                                                                                    (5)

где - коэффициент теплопередачи конвекцией, зависящий от свойств среды и элемента модели;- температура среды;  - площадь поверхности элемента.

Тепловое излучение - вычисляют согласно закону Стефана-Больцмана:

σ-постоянная Стефана-Больцмана; ε – степень черноты тела; – температура ограждений.

При разности температур () менее 20 К расчет потока тепла излучения ведут по эмпирической формуле

,                                                                               (6)

где - коэффициент теплопередачи излучением.

Тепло, выделяемое в среду испарением, вычисляют по формуле,  

                                                                                (7)

где – коэффициент теплопередачи испарением; -площадь увлажненной поверхности элемента модели;,– давление паров, насыщенных при температуре кожи и температуре среды соответственно.

Тепловые потери  с верхних дыхательных путей складываются из теплового обмена вдыхаемого и выдыхаемого воздуха и теплоотдачи испарением. Эти потери могут составлять 13% от отводимого от тела тепла. Поскольку эти потери невелики, то их часто не включают в общие потери тепла.

Порядок системы уравнений (1) определяются числом элементов расчетной схемы.

Температура крови   входит в систему уравнений (1) через (4), и ее можно определить из анализа уравнения теплового баланса крови. Пренебрегая неравномерностью температурного поля крови, предполагают, что тепло, доставляемое венозной кровью, вытекающей из каждого элемента, поступает в резервуар с идеальным перемешиванием и, таким образом, возникает температура смешанной венозной крови, которую принимают равной температуре артериальной крови. Тогда уравнение теплового баланса венозной крови можно записать в виде

,                                 (8)

где - массы артериальной и венозной крови; двойная сумма — сумма тепловых потоков на выходах элементов, а второе слагаемое в правой части уравнения (8) — тепло, отданное тканям.

 Уравнения (1), (8) есть ММСП биологического тела, она позволяет анализировать тепловое состояние тела при различных тепловых потоках и числе элементов расчетной схемы.

При построении математической модели с распределенными параметрами (ММРП) предполагают тело квазиоднородным. Тепловой режим такого тела описывается с помощью полей локально осредненных среднеобъемных температур тканей и крови. Тогда ММРП представляет собой систему дифференциальных уравнении. Предполагается, что теплообмен между кровью и тканью происходит в любой точке объема и определяется удельной мощностью объемных источников (стоков) тепла. Эти источники могут быть заданы помощью объемных коэффициентов теплоотдачи к артериальной и венозной крови (). Предполагается также, что артериальная кровь, проходя через капилляры и имея массовый расход в единице объема G, принимает локальную температуру ткани.

Тогда дифференциальное уравнение, которое описывает перенос тепла в ткани, запишем в виде

,            (9)

где Δ – оператор Лапласа; – мощность источников обменных процессов.

Часто теплообменом в артериях и венах по сравнению с капиллярным теплообменом пренебрегают. До момента входа в капилляры артериальная кровь имеет в любой точке тела температуру крови, выходящей из сердца, а температура венозной крови, выходящей из капилляров и поступающей в малый круг кровообращения, равна среднерасходной температуре крови, выходящей из капилляров. Тогда уравнение (9) упрощается

.                                                           (10)

Температура можно определить из уравнения теплового баланса для участка сердце-легкие с учетом потерь при дыхании

                                                          (11)

Суммирование ведется по всем элементам , в которых решается уравнение (10).

Модели ММСП применяются при исследовании терморегуляции в условиях гипертермии при физической работе, действия электромагнитного излучения, анализа теплового состояния человека в обогреваемой одежде и оценке теплообмена при лечении опухолей. Модели ММРП применяются при анализе теплового режима космонавтов в скафандрах, при моделировании методов лечения с изменением теплового режима отдельных частей тела электромагнитным излучением.

 

Список литературы:
1. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. — Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 
2. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики: Учебное пособие. — 3-е изд., испр. и доп. — М.: УРСС, 2006. 
3. Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. — М.: Логос, 2004. 
4. Краснощёков П. С., Петров А. А. Принципы построения моделей. — издание второе, пересмотренное и дополненное. — М.: ФАЗИС; ВЦ РАН, 2000. — XII.—412 с. — (Математическое моделирование; Вып.1). 
5. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. — 3-е изд., испр. — М.: КомКнига, 2007. — 192 с.