Математические модели теплообмена организма человека

Математическое моделирование процессов теплообмена в организме человека позволяет решать широкий круг задач в медицине, физиологии, спорте, при конструировании одежды, создании систем жизнеобеспечения. В настоящее время построены математические модели с достаточно подробной физиологической информацией, учитывающей анатомическую структуру тела, механизмы переноса тепла. Различают математические модели с сосредоточенными параметрами (ММСП) и с распределенными параметрами (ММРП).

При построении ММСП тело разбивают па n частей. Тепловое состояние каждого элемента характеризуется среднеобъемными значениями температур ткани  и крови в артериях  и в венах .Часто считают, что теплопередача кондукцией между торцевыми поверхностями элементов модели мала, и ею пренебрегают. Кровотоки в элементах представляют системой параллельных ветвей. Потоки крови смешиваются в резервуаре, включающем сердце, легкие и крупные венозные сосуды. Температура крови в элементах одинакова. Температура венозной крови равна температуре ткани элемента. Объемная скорость крови на входе и выходе элемента одинакова. Теплообмен между близлежащими артериями и венами не учитывается.

Тогда тепловое состояние ткани элемента может быть описано с помощью уравнения теплового баланса (1)

где i - номер цилиндра; j - номер слоя i-го цилиндра; -удельная теплоемкость;  - масса; - температура;  аккумулируемое i-м элементом тепло, идущее на повышение теплосодержания ткани; -количество тепла, выделяемое в результате обменных метаболических процессов; -кондуктивный тепловой поток; - радиационный тепловой поток излучением; - конвективный тепловой поток;- тепловой поток при испарении пота с поверхности кожи;  - конвективный тепло вой поток кровью; - тепловой поток с дыхательных путей.

Адекватность математической модели процессам переноса тепла в организме определяется тем, насколько корректно будут записаны выражения, входящие в уравнение (1) и связывающие тепловые потоки с искомыми усредненными температурами ткани и крови.

Рассмотрим подробнее» каждое из слагаемых, записанных в правой части уравнения (1).

Количество тепла  раccчитывают по потреблению кислорода элементами модели в единицу времени, учитывая калорический эквивалент кислорода, который зависит от вида окисляемого субстрата (2),

где - количество теплоты на единицу кислорода, затраченного на окисление, Дж/мл O₂; - количество кислорода, затраченного на окисление в единицу времени, мл /ч.

Кондуктивный тепловой поток между элементами ij и i, j + 1, проходящий через их общую границу, задается в виде (3),

где λ – коэффициент теплопроводности; а = 2 - длина i-го цилиндрического элемента; -средний радиус j-го слоя; - средний радиус (j+1) -го слоя).

Конвективный перенос тепло кровью обеспечивает главным образом вынужденную конвекцию в организме человека. Специфика этого процесса определяется сложной топологией кровеносной системы, размерами сосудов, их взаимным расположением в тканях, объемной скоростью кровотока:

                               …………………………… (4)

где - удельная теплоемкость крови; - плотность крови; - объем крови, протекающей и единицу времени; -температура артериальной крови.

Основное допущение, принятое в выражении (4), состоит в том, что температура артериальной крови  при движении по крупным сосудам имеет всюду одинаковую температуру, a температура крови, выходящей из органа, равна температуре ткани органа. Теплопередача конвекцией происходит между поверхностью тела и средой:

                                                                                    (5)

где - коэффициент теплопередачи конвекцией, зависящий от свойств среды и элемента модели;- температура среды;  - площадь поверхности элемента.

Тепловое излучение - вычисляют согласно закону Стефана-Больцмана:

σ-постоянная Стефана-Больцмана; ε – степень черноты тела; – температура ограждений.

При разности температур () менее 20 К расчет потока тепла излучения ведут по эмпирической формуле

,                                                                               (6)

где - коэффициент теплопередачи излучением.

Тепло, выделяемое в среду испарением, вычисляют по формуле,  

                                                                                (7)

где – коэффициент теплопередачи испарением; -площадь увлажненной поверхности элемента модели;,– давление паров, насыщенных при температуре кожи и температуре среды соответственно.

Тепловые потери  с верхних дыхательных путей складываются из теплового обмена вдыхаемого и выдыхаемого воздуха и теплоотдачи испарением. Эти потери могут составлять 13% от отводимого от тела тепла. Поскольку эти потери невелики, то их часто не включают в общие потери тепла.

Порядок системы уравнений (1) определяются числом элементов расчетной схемы.

Температура крови   входит в систему уравнений (1) через (4), и ее можно определить из анализа уравнения теплового баланса крови. Пренебрегая неравномерностью температурного поля крови, предполагают, что тепло, доставляемое венозной кровью, вытекающей из каждого элемента, поступает в резервуар с идеальным перемешиванием и, таким образом, возникает температура смешанной венозной крови, которую принимают равной температуре артериальной крови. Тогда уравнение теплового баланса венозной крови можно записать в виде

,                                 (8)

где - массы артериальной и венозной крови; двойная сумма — сумма тепловых потоков на выходах элементов, а второе слагаемое в правой части уравнения (8) — тепло, отданное тканям.

 Уравнения (1), (8) есть ММСП биологического тела, она позволяет анализировать тепловое состояние тела при различных тепловых потоках и числе элементов расчетной схемы.

При построении математической модели с распределенными параметрами (ММРП) предполагают тело квазиоднородным. Тепловой режим такого тела описывается с помощью полей локально осредненных среднеобъемных температур тканей и крови. Тогда ММРП представляет собой систему дифференциальных уравнении. Предполагается, что теплообмен между кровью и тканью происходит в любой точке объема и определяется удельной мощностью объемных источников (стоков) тепла. Эти источники могут быть заданы помощью объемных коэффициентов теплоотдачи к артериальной и венозной крови (). Предполагается также, что артериальная кровь, проходя через капилляры и имея массовый расход в единице объема G, принимает локальную температуру ткани.

Тогда дифференциальное уравнение, которое описывает перенос тепла в ткани, запишем в виде

,            (9)

где Δ – оператор Лапласа; – мощность источников обменных процессов.

Часто теплообменом в артериях и венах по сравнению с капиллярным теплообменом пренебрегают. До момента входа в капилляры артериальная кровь имеет в любой точке тела температуру крови, выходящей из сердца, а температура венозной крови, выходящей из капилляров и поступающей в малый круг кровообращения, равна среднерасходной температуре крови, выходящей из капилляров. Тогда уравнение (9) упрощается

.                                                           (10)

Температура можно определить из уравнения теплового баланса для участка сердце-легкие с учетом потерь при дыхании

                                                          (11)

Суммирование ведется по всем элементам , в которых решается уравнение (10).

Модели ММСП применяются при исследовании терморегуляции в условиях гипертермии при физической работе, действия электромагнитного излучения, анализа теплового состояния человека в обогреваемой одежде и оценке теплообмена при лечении опухолей. Модели ММРП применяются при анализе теплового режима космонавтов в скафандрах, при моделировании методов лечения с изменением теплового режима отдельных частей тела электромагнитным излучением.