О некоторых случаях отображений поверхностей евклидовых пространств

Рассмотрим евклидовые пространства  и  как вполне ортогональные подпространства в собственно евклидовом пространстве , имеющие общую точку О. Пусть  и  гладкие поверхности в  и  соответственно.

Будем изучать дифференцируемое взаимно-однозначное отображение Т области  на область . Если точка , описывает , а , то точка  с радиус-вектором  опишет некоторую двумерную поверхность , называемую графиком отображения .

Присоединим к поверхностям  подвижные реперы.

 ) , () =   )

 , 

Инфинитезимальные перемещения этих реперов определяются уравнениями.

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

 (7)

 (8)

Реперы согласованы, что приводит к следующей системе дифференциальных уравнений

 (10)

 (11)

 (12)

Из (9), (10), (11), (12) находим.

 (13)

Равенство (13) показывает, что среди шести квадратичных асимптотических форм поверхности  есть четыре перенесенные, с соответственно.

Рассмотрим случай, когда поверхность имеет три линейно независимые квадратичные формы. Пусть это будут формы 

Тогда

В этом случае для каждой поверхности  возникает ортогональные сети . Направляющие векторы касательных к линиям этих сетей имеют разложения.

 (15)

 (16)

 (17)

где:

 (18)

Зафиксируем сеть  (значит и сеть )

Векторы  подвижного репера расположим на касательных к линиям сети  в точке , тогда векторы  будут расположены на касательных к линиям сети  поверхности  в точке .

Тогда формы  главные и имеют разложения

Векторы  будут касательными к линиям соответствующей сети  Следовательно, формы  главные и

1.  Рассмотрим случай, когда сети  ортогональные, то есть сеть  служит основанием отображения .

Имеем

В этом случае интегральные кривые векторных полей  задаются уравнениями

где:  Требуя выполнения условия получим

 (26)

Из этих условий находим

Учитывая, что  (как и a, b)

Одновременно не является нулем получим

а)  тогда  Следовательно сети  совпадают.

б)  тогда  то есть 

Тогда сети  опять совпадают.

в) тогда 

Следовательно, отображение  конформное. Итак, мы приходим к следующему результату

Теорема1. Сети  соответствуют в отображение  тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий.

1)   совпадают с основанием отображения .

2)  Отображение  является конформным.

2.  Пусть каждая сеть  сопряженная, но не ортогональная то есть.

В этом случае дифференциальные уравнения линии сетей  здаются уравнениями.

Требуя выполнения условия , находим

Отсюда находим

 есть вектор вынужденный кривизны поля  вдоль линии  сети  поверхности .

Теорема2. Если поверхности  несут сопряженные сети и эти сети соответствуют, то сети  служат основанием отображения  тогда и только тогда когда выполняется условие (28)