Статья:

О некоторых случаях отображений поверхностей евклидовых пространств

Конференция: XLVI Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: технические и математические науки»

Секция: Физико-математические науки

Выходные данные
Шарифова Г.А. О некоторых случаях отображений поверхностей евклидовых пространств // Молодежный научный форум: Технические и математические науки: электр. сб. ст. по мат. XLVI междунар. студ. науч.-практ. конф. № 6(46). URL: https://nauchforum.ru/archive/MNF_tech/6(46).pdf (дата обращения: 22.08.2018)
Лауреаты определены. Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Мне нравится
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
Дипломы
лауреатов
Сертификаты
участников
на печатьскачать .pdfподелиться

О некоторых случаях отображений поверхностей евклидовых пространств

Шарифова Гюльсаба Ариф
магистрант, Бакинский Государственный Университет, Азербайджанская Республика, г. Баку
Алиев Наджаф Ягуб
научный руководитель, доц. Бакинский Государственный Университет, Азербайджанская Республика, г. Баку

 

Рассмотрим евклидовые пространства  и  как вполне ортогональные подпространства в собственно евклидовом пространстве , имеющие общую точку О. Пусть  и  гладкие поверхности в  и  соответственно.

Будем изучать дифференцируемое взаимно-однозначное отображение Т области  на область . Если точка , описывает , а , то точка  с радиус-вектором  опишет некоторую двумерную поверхность , называемую графиком отображения .

Присоединим к поверхностям  подвижные реперы.

 ) , () =   )

 , 

Инфинитезимальные перемещения этих реперов определяются уравнениями.

 (1)

 (2)

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

 (7)

 (8)

Реперы согласованы, что приводит к следующей системе дифференциальных уравнений

 (10)

 (11)

 (12)

Из (9), (10), (11), (12) находим.

 (13)

Равенство (13) показывает, что среди шести квадратичных асимптотических форм поверхности  есть четыре перенесенные, с соответственно.

Рассмотрим случай, когда поверхность имеет три линейно независимые квадратичные формы. Пусть это будут формы 

Тогда

В этом случае для каждой поверхности  возникает ортогональные сети . Направляющие векторы касательных к линиям этих сетей имеют разложения.

 (15)

 (16)

 (17)

где:

 (18)

Зафиксируем сеть  (значит и сеть )

Векторы  подвижного репера расположим на касательных к линиям сети  в точке , тогда векторы  будут расположены на касательных к линиям сети  поверхности  в точке .

Тогда формы  главные и имеют разложения

Векторы  будут касательными к линиям соответствующей сети  Следовательно, формы  главные и

1.  Рассмотрим случай, когда сети  ортогональные, то есть сеть  служит основанием отображения .

Имеем

В этом случае интегральные кривые векторных полей  задаются уравнениями

где:  Требуя выполнения условия получим

 (26)

Из этих условий находим

Учитывая, что  (как и a, b)

Одновременно не является нулем получим

а)  тогда  Следовательно сети  совпадают.

б)  тогда  то есть 

Тогда сети  опять совпадают.

в) тогда 

Следовательно, отображение  конформное. Итак, мы приходим к следующему результату

Теорема1. Сети  соответствуют в отображение  тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий.

1)   совпадают с основанием отображения .

2)  Отображение  является конформным.

2.  Пусть каждая сеть  сопряженная, но не ортогональная то есть.

В этом случае дифференциальные уравнения линии сетей  здаются уравнениями.

Требуя выполнения условия , находим

Отсюда находим

 есть вектор вынужденный кривизны поля  вдоль линии  сети  поверхности .

Теорема2. Если поверхности  несут сопряженные сети и эти сети соответствуют, то сети  служат основанием отображения  тогда и только тогда когда выполняется условие (28)

 

Список литературы:
1. Алиев Н.Я. К геометрии отображений поверхностей евклидовых пространств.Ученые записки АГУ, сеч. физ.мат. наук 1979 №5, 23–29.
2. Базылев В.Т. К геометрии дифференцируемых отображений евклидовых пространств. Уч. зап. МГПИ им. В.И. Ленина 1970, №374 Т.1, 41–51.
3. Aliyev N.Y., T.M.Huseynova Skalyar əyriliyi sıfır olan səthi haqqında “Nəzəri və tətəbiqi riyaziyyatın aktual məsələləri” Respublika elmi konfransının materialları Bakı 28–29 oktyabr 2016.