О некоторых случаях отображений поверхностей евклидовых пространств
Секция: Физико-математические науки
лауреатов
участников
лауреатов
![](/themes/mix_and_match/images/dip_and_sert/gold_gray.png)
![](/themes/mix_and_match/images/dip_and_sert/silver_gray.png)
участников
![](/themes/mix_and_match/images/dip_and_sert/sert_gray.png)
![](/themes/mix_and_match/images/dip_and_sert/nauch_gray.png)
![](https://nauchforum.ru/themes/mix_and_match/images/logo.jpg)
XLVI Студенческая международная заочная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум: технические и математические науки»
О некоторых случаях отображений поверхностей евклидовых пространств
Рассмотрим евклидовые пространства и
как вполне ортогональные подпространства в собственно евклидовом пространстве
, имеющие общую точку О. Пусть
и
гладкие поверхности в
и
соответственно.
Будем изучать дифференцируемое взаимно-однозначное отображение Т области на область
. Если точка
, описывает
, а
, то точка
с радиус-вектором
опишет некоторую двумерную поверхность
, называемую графиком отображения
.
Присоединим к поверхностям подвижные реперы.
) ,
(
) =
)
,
Инфинитезимальные перемещения этих реперов определяются уравнениями.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Реперы согласованы, что приводит к следующей системе дифференциальных уравнений
(10)
(11)
(12)
Из (9), (10), (11), (12) находим.
(13)
Равенство (13) показывает, что среди шести квадратичных асимптотических форм поверхности есть четыре перенесенные, с
соответственно.
Рассмотрим случай, когда поверхность имеет три линейно независимые квадратичные формы. Пусть это будут формы
Тогда
В этом случае для каждой поверхности возникает ортогональные сети
. Направляющие векторы касательных к линиям этих сетей имеют разложения.
(15)
(16)
(17)
где:
(18)
Зафиксируем сеть (значит и сеть
)
Векторы подвижного репера расположим на касательных к линиям сети
в точке
, тогда векторы
будут расположены на касательных к линиям сети
поверхности
в точке
.
Тогда формы главные и имеют разложения
Векторы будут касательными к линиям соответствующей сети
Следовательно, формы
главные и
1. Рассмотрим случай, когда сети ортогональные, то есть сеть
служит основанием отображения
.
Имеем
В этом случае интегральные кривые векторных полей задаются уравнениями
где: Требуя выполнения условия
получим
(26)
Из этих условий находим
Учитывая, что (как и a, b)
Одновременно не является нулем получим
а) тогда
Следовательно сети
совпадают.
б) тогда
то есть
Тогда сети опять совпадают.
в) тогда
Следовательно, отображение конформное. Итак, мы приходим к следующему результату
Теорема1. Сети соответствуют в отображение
тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий.
1) совпадают с основанием отображения
.
2) Отображение является конформным.
2. Пусть каждая сеть сопряженная, но не ортогональная то есть.
В этом случае дифференциальные уравнения линии сетей здаются уравнениями.
Требуя выполнения условия , находим
Отсюда находим
есть вектор вынужденный кривизны поля
вдоль линии
сети
поверхности
.
Теорема2. Если поверхности несут сопряженные сети и эти сети соответствуют, то сети
служат основанием отображения
тогда и только тогда когда выполняется условие (28)
![](/sites/default/files/publ_rinc.png)