Применение вейвлет-анализа

Приблизительно два десятилетия назад в мире сформировалось и подверглось глубокому и тщательному изучению новое научное направление, называемое вейвлет-анализом, которое на сегодняшний день нашло широкое применение в обработке сигналов и изображений.

Термин «вейвлет» (wavelet), от французского слова «ondelette», означает небольшие (короткие) волны, которые следуют друг за другом. В узком смысле вейвлеты – это общее название для семейств математических функций, получающихся путем масштабирования и сдвигов по оси времени одной материнской (базовой) функции. В широком смысле вейвлеты – это функции, которые локальны во времени и по частоте, со средним значением равным нулю [1],[6].

Представление одномерного сигнала в виде обобщенного ряда  или интеграла Фурье по системе базисных функций

,

построенных на основе материнского (исходного) вейвлета , называется вейвлет–преобразованием. Материнский вейвлет имеет полезные свойства благодаря операциям изменения временного масштаба  и сдвига во времени . Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа  [9].

Таким образом, при заданных параметрах  и  функция  является вейвлетом, образованным на основе материнского вейвлета .

Благодаря вейвлет-преобразованию появилась возможность проводить анализ изучаемых временных функции в терминах колебаний, которые обладают свойством локализованности во временном пространстве и частотных областях. При непрерывном изменении параметров  и  вейвлет-преобразование называется непрерывным, а реализацию вейвлет-преобразования с использованием дискретного набора масштабов и переносов называют дискретным вейвлет-преобразованием [1].

Вейвлет-анализ вызвал большой интерес в теоретической и прикладной сферах математики, вследствие чего, он нашёл применение в самых разных областях. Рассмотрим некоторые из них:

1) Восстановление прошлого климата

Используя вейвлет-анализ, можно провести реконструкцию прошлого климата. С этой целью необходимо выявить характерные периоды, присутствующие в косвенных источниках изменения климата (природных архивах, включающих в свою структуру климатический сигнал). Таким образом, выявляя периоды климатических колебаний, можно сделать прогноз о поведении климатических систем в будущем [5].

Например, вейвлет-анализ можно использовать для характеристики временной изменчивости облачности в широтных зонах [7].

2) Сжатие данных

Наибольшее применение вейвлет-преобразования нашли в обработке сигналов и изображений. Под обработкой понимается сжатие изображений или временных сигналов, их анализ, «очищение», фильтрация, эффективное хранение, извлечение и передача. При обработке сигналов используются «одномерные» вейвлеты, а при обработке изображений «двумерные». Вейвлеты позволяют производить декомпозицию, а также восстанавливать и идентифицировать сигналы и изображения, удалять шумы, сжимать файлы, хранящие информацию. В зависимости от выбора материнского вейвлета будет решаться та или иная практическая задача,[8].

Сжатие сигнала и его последующую реконструкцию можно осуществить при помощи прямого и обратного вейвлет-преобразования.

В частности, чтобы сжать изображение необходимо реализовать следующий алгоритм действий:

a) Осуществляется вейвлет-преобразование.

b) Коэффициенты упорядочиваются.

c) У упорядоченного массива с допустимой энергией (согласно условиям задачи) отбрасывается «хвост».

d) Запоминаются сохраненные коэффициенты и их позиция в массиве исходных коэффициентов.

Для реконструкции необходимо заменить отброшенные коэффициенты нулями [4].

3) Медицина и биология

Вейвлет–анализ нашёл своё применение в биологии и медицине. Его используют для расшифровки информации, заключённой в функциях одной переменной (анализ интервалов сердцебиения, электроэнцефалограмм (ЭЭГ), электрокардиограмм (ЭКГ), последовательности ДНК и т.п.), а также для распознания образов (формы биологических объектов, классификации клеток крови, изображения радужной оболочки глаза, рентгенограмм внутренних органов живых существ и т.п.). В частности, при анализе кардиограмм и диагностике острых лейкозов [3],[5].

4) Авиация (двигатели)

Вейвлет-анализ можно применять для анализа работы моторов, турбин, компрессоров, двигателей и т.п. Он позволяет значительно усовершенствовать диагностику режимов работы двигателей, что способствует предотвращению их выхода из строя и снижению экономических потерь [3].

Помимо вышеизложенного вейвлет-анализ применяют с целью анализа состояния и предсказания изменения положения на фондовых и валютных рынках; для идентификации образов спутниковых изображений облаков или поверхности планет, а также снимков минералов; при изучении мультифрактальных объектов и проектировании квадратных зеркальных фильтров; для численных методов решения уравнений математической физики; при анализе и синтезе сигналов разной структуры и природы (в частности, при анализе речи с помощью вейвлет–преобразования можно достигнуть эффективного удаления высокочастотного шума (шумоотчистка), а также построить эталоны для систем распознавания речи) и для много другого.

Вейвлеты стали одним из эффективных инструментов для решения широкого спектра задач. С этой целью, на основе полученных к настоящему времени результатов, были разработаны специальные пакеты программ в системах MathCAD, MatLab и CorelDraw [5],[8].

В заключение, хочется отметить, что вейвлет-анализ вызвал большой интерес в теоретической и прикладной сферах математики, вследствие чего, он нашёл применение в самых разных областях. В частности, он служит хорошим инструментом для восстановления прошлого климата, анализа климатических данных и их долгосрочного прогнозирования. За счёт своих особенностей вейвлет-анализ был выбран в качестве одного из инструментов для изучения характеристик систем видения через атмосферу в работе [2].