Применение математического моделирования для решения задач № 17 профильного ЕГЭ

В данной статье рассматриваются вопросы методики обучения учащихся умению решать задачи с социально-экономическим содержанием в качестве подготовки к ЕГЭ  по профильной математике.

Одной из особенностей вариантов ЕГЭ в 2016 г. является включение задачи № 17(в 2015 – задачи №19), которая представляет собой ориентированную на практическое содержание задачу.

При решении этой задачи проверяется умение выполнять действия с целыми числами, действий со степенями, с натуральным показателем, умение обращаться с процентами, в том числе и сложными «банковскими» и дифференцированными процентами. Умение решать задачи на проценты имеет практическое значение, т.к. понятие процента используется и в реальной жизни, и в различных областях науки.

При решении задач с экономическим содержанием необходимо обучить учащихся  использовать методы математического моделирования.

Задачи № 17 из профильного ЕГЭ подразделяются на следующие типы: 1) банковские задачи на кредиты; 2) задачи, сводящиеся к математической модели, решаемые в целых числах; 3) задачи, где применяется геометрическая интерпретация; 4) задачи на оптимизацию.

1) Банковские задачи на кредиты:

1) В июле 2016 г. Инга планирует взять кредит в банке на n л. в размере S млн. рублей , где S- целое число. Условия его возврата следующие:

- каждый  январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом  предыдущего года;

- выплата должна производиться 1 раз в год с февраля по июнь;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение S , при котором каждая  из выплат Инги будет меньше S₀ млн. рублей.

СПОСОБ РЕШЕНИЯ:

(1+0,01r%)-увеличение на r%

………………………………………….

Решаем  следующие неравенства  и находим  наибольшее значение S , при котором каждая из выплат Инги будет меньше S₀ млн. рублей:

…………………………………

2)15 января Вика планирует взять кредит в банке на n месяцев в размере S млн. рублей. Условия его возврата следующие:

-1 числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца , где r-целое число;

-выплата должна производиться один раз в месяц со 2-14 число каждого месяца;

-15 числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Найдите  наименьшее значение r , при котором Вике в общей сумме придется выплатить  меньше S₀ млн. рублей.

СПОСОБ РЕШЕНИЯ

…………………………………………

Чтобы найти наименьшее значение r , решаем  следующее неравенство:

3) 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке  S рублей в кредит под r% годовых . Схема выплаты кредита следующая : 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на r%) , затем Алексей переводит в банк Х рублей . Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг  n равными платежами (т.е. n л.)

СПОСОБ  РЕШЕНИЯ

………………………………………………………………………………………

И решаем следующее уравнение:

((S(1+0,01r%)-X)(1+0,01r%)-X)(1+0,01r%)-X)…...=0

4)15 января планируется взять кредит в банке на n месяцев. Условия возврата таковы: 1 числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца .Известно ,что общая сумма выплат после полного погашения кредита на r₀% больше суммы, взятой в кредит. Найти r.

СПОСОБ РЕШЕНИЯ :

Обозначим   через 

………………………………………….

Чтобы найти r решаем следующее уравнение:

Следовательно

5) Матвей хочет взять в кредит S рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента r% годовых. На какое минимальное количество лет может Матвей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более S₀ рублей ?

СПОСОБ РЕШЕНИЯ:

S-сумма кредита , годовые составляют r%. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент к=(1+0,01r%).Составляем таблицу выплат и узнаём на какое минимальное количество лет Матвей может взять кредит.