Применение математического моделирования для решения задач № 17 профильного ЕГЭ
Конференция: LXII Студенческая международная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум»
Секция: Физико-математические науки
![](https://nauchforum.ru/themes/mix_and_match/images/logo.jpg)
LXII Студенческая международная научно-практическая конференция «Молодежный научный форум»
Применение математического моделирования для решения задач № 17 профильного ЕГЭ
В данной статье рассматриваются вопросы методики обучения учащихся умению решать задачи с социально-экономическим содержанием в качестве подготовки к ЕГЭ по профильной математике.
Одной из особенностей вариантов ЕГЭ в 2016 г. является включение задачи № 17(в 2015 – задачи №19), которая представляет собой ориентированную на практическое содержание задачу.
При решении этой задачи проверяется умение выполнять действия с целыми числами, действий со степенями, с натуральным показателем, умение обращаться с процентами, в том числе и сложными «банковскими» и дифференцированными процентами. Умение решать задачи на проценты имеет практическое значение, т.к. понятие процента используется и в реальной жизни, и в различных областях науки.
При решении задач с экономическим содержанием необходимо обучить учащихся использовать методы математического моделирования.
Задачи № 17 из профильного ЕГЭ подразделяются на следующие типы: 1) банковские задачи на кредиты; 2) задачи, сводящиеся к математической модели, решаемые в целых числах; 3) задачи, где применяется геометрическая интерпретация; 4) задачи на оптимизацию.
1) Банковские задачи на кредиты:
1) В июле 2016 г. Инга планирует взять кредит в банке на n л. в размере S млн. рублей , где S- целое число. Условия его возврата следующие:
- каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- выплата должна производиться 1 раз в год с февраля по июнь;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Дата |
Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
………………… |
Июль (2016 +n) |
Долг (в млн. рублей) |
S |
S1 |
S2 |
S3 |
…………….... |
Sn |
Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат Инги будет меньше S0 млн. рублей.
СПОСОБ РЕШЕНИЯ:
(1+0,01r%)-увеличение на r%
………………………………………….
Решаем следующие неравенства и находим наибольшее значение S , при котором каждая из выплат Инги будет меньше S0 млн. рублей:
…………………………………
2)15 января Вика планирует взять кредит в банке на n месяцев в размере S млн. рублей. Условия его возврата следующие:
-1 числа каждого месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца , где r-целое число;
-выплата должна производиться один раз в месяц со 2-14 число каждого месяца;
-15 числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:
Дата |
15.01 |
15.02 |
15.03 |
………………….. |
15.(n+1) |
Долг (в млн. рублей) |
S |
S1 |
S2 |
…………………… |
Sn |
Найдите наименьшее значение r , при котором Вике в общей сумме придется выплатить меньше S0 млн. рублей.
СПОСОБ РЕШЕНИЯ
…………………………………………
Чтобы найти наименьшее значение r , решаем следующее неравенство:
3) 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке S рублей в кредит под r% годовых . Схема выплаты кредита следующая : 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на r%) , затем Алексей переводит в банк Х рублей . Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг n равными платежами (т.е. n л.)
СПОСОБ РЕШЕНИЯ
………………………………………………………………………………………
И решаем следующее уравнение:
((S(1+0,01r%)-X)(1+0,01r%)-X)(1+0,01r%)-X)…...=0
4)15 января планируется взять кредит в банке на n месяцев. Условия возврата таковы: 1 числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца .Известно ,что общая сумма выплат после полного погашения кредита на r0% больше суммы, взятой в кредит. Найти r.
СПОСОБ РЕШЕНИЯ :
Обозначим через
………………………………………….
Чтобы найти r решаем следующее уравнение:
Следовательно
5) Матвей хочет взять в кредит S рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента r% годовых. На какое минимальное количество лет может Матвей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более S0 рублей ?
СПОСОБ РЕШЕНИЯ:
S-сумма кредита , годовые составляют r%. Тогда в последний день каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент к=(1+0,01r%).Составляем таблицу выплат и узнаём на какое минимальное количество лет Матвей может взять кредит.
Год |
Долг банку (руб.) |
Остаток после транша (руб.) |
0 |
S |
…… |
1 |
S(1+0,01r%). |
S(1+0,01r%)-S0 |
2 |
(S(1+0,01r%)-S0) (1+0,01r%) |
(S(1+0,01r%)-S0) (1+0,01r%)-S0 |
… |
…. |
…. |
n |
… |
0 |
![](/sites/default/files/publ_rinc.png)