Пропедевтика функциональной линии в начальном курсе математики

Одной из самых главных задач начального курса математики является подготовка учеников к качественному усвоению программного материала в средней школе. С этой целью при работе с младшими школьниками активно используются технологии опережающего обучения, когда основы предстоящих учебных тем даются педагогом немного раньше, чем их изучение предусмотрено программой.

Термин «пропедевтика» в научных источниках трактуется как сокращенное изложение какой-либо науки в систематизированном виде, т.е. подготовительный, вводный курс в какую-либо науку или ее раздел. По мнению современных педагогов, пропедевтическая работа эффективна при подготовке к изучению тем, зарекомендовавших себя достаточно трудными для детского восприятия [2].

Как показывает практика, одной из самых сложных для усвоения содержательных линий основного курса математики является функциональная линия. Уже не первое поколение школьников сталкивается с трудностями при изучении понятийного аппарата данного раздела, при понимании алгоритмов построения графиков функций, а также при практическом применении свойств и графиков функции в процессе решения математических задач.

Под функцией в математике понимают однозначное парное соответствие между элементами двух множеств [1]. Функция представляет собой математическую модель практически любого реального процесса, в силу этого изучение функциональных зависимостей, их свойств и графиков (функционально-графического материала) является стержнем основного курса математики [3].

В Программу по математике для начальных классов, соответствующих федеральному стандарту второго поколения [4], также включено большое количество тем, в процессе изучения которых у младших школьников формируются представления о функциональной зависимости. Учебная деятельность по пропедевтике функциональной линии на данной ступени обучения может быть организована по следующему алгоритму: работа с изменением величин; изучение взаимных зависимостей; выявление правил, в соответствии с которыми происходит изменение величин.

Рассмотрим практические задания, которые могут быть использованы в целях функциональной пропедевтики, по каждому из обозначенных пунктов.

Работа с изменением величин может проводиться уже на уровне предметных действий, в процессе выполнения заданий, которые так или иначе связаны с переводом предметных ситуаций на математический язык, к примеру, выполняя их запись в виде числовых выражений: 7 – 7; 7 – 6; 7 – 5; 7 – 4; 7 – 3; 7 – 2. Преподаватель, задавая наводящие вопросы, обращает внимание детей на сходство и различие этих ситуаций. Затем учитель спрашивает, какие изменения происходят с записанными числовыми выражениями. Для этого рекомендуется использовать табличный вид представления информации (табл. 1).

Таблица 1.

Изменение одной величины с сохранением другой

В приведенном примере идея изменения будет выражаться в следующем: при изменении одного из компонентов арифметического действия и оставлении без изменения другого результат действия обязательно изменится.

Задания, в ходе которых дети работают с изменением результатов арифметических действий, используются в начальном курсе математики главным образом для формирования вычислительных умений и навыков младших школьников. Однако работа с таблицами удобна и эффективна также при ознакомлении учащихся с основами функциональной зависимости, как в рассмотренном выше примере.

Задания, которые могут быть использованы в ходе функциональной пропедевтики при изучении взаимных зависимостей, достаточно разнообразны:

1. Что необходимо сделать с вычитаемым, чтобы разность уменьшилась на 6? увеличилась на 2?

2. Как изменится сумма, если мы увеличим одно из слагаемых на 124?

3. Вычисли:

750 – 130 =         450 – 210 =         300 – 60 =           480 – 90 =

740 – 130 =         450 – 220 =         320 – 60 =           480 – 60 =

730 – 130 =         450 – 230 =         360 – 60 =           480 – 30 =

Постарайся объяснить, почему в первых двух столбиках разность будет уменьшаться, а в последних двух – увеличиваться?

4. Придумай и запиши несколько таких примеров на сложение и вычитание, в которых результат каждого последующего примера будет на 2 больше, чем результат предыдущего.

В приведенных выше примерах видно, как простые задания из курса начальной математики могут быть использованы для формирования у учащихся базовых представлений о функциональной зависимости. В процессе выполнения подобных упражнений дети не просто наблюдают, как изменяется результат действия под влиянием изменения одного из компонентов этого действия, но и учатся применять сформулированные правила и закономерности в процессе выполнения других математических упражнений. Очень важно, что от школьника не требуется специальное заучивание этих правил: он легко запомнит их за счет того, что они будут неоднократно выведены в процессе самостоятельного наблюдения и обсуждения.

Работа с основами функциональной зависимости может проводиться и в процессе решения сюжетных математических задач, которые в большинстве случаев продолжают использоваться педагогами лишь для отработки вычислительных навыков. Для этого в задачи необходимо включать вопросы, которые носят функциональный характер. Далее рассмотрим примеры подобных заданий.

1. Книга и журнал стоят 125 рублей. Как изменится стоимость покупки, если цена книги уменьшится на 23 рубля, а цена журнала увеличится на 14 рублей?

2. Несколько ручек стоят 20 рублей. Сколько потребуется денег, чтобы купить в 2 раза больше ручек, если цена каждой единицы товара снизится в четыре раза?

Кроме отработки идеи изменения, важно выявление некоторых правил (законов), согласно которым происходят такие изменения. Известно, что если изменения происходят по определенному правилу или закону, то это непременно приводит к установлению соответствия между двумя множествами [1]. Другими словами, правило, по которому происходит изменение, будет касаться двух взаимосвязанных величин, обнаруживая присутствие зависимости между ними.

Полноценное осознание учащимися начальных классов этой идеи возможно в процессе выполнения математических заданий, требующих выделить закономерности. Таким заданием может быть задание следующего вида: что нужно сделать с числами первой строки, чтобы получить числа второй строки?

а)      5       4       3       2       1

10     8       6       4       2

Ответ: увеличить в два раза;

б)      11     15     24     33     45     16     22     52     14

1       1       2       3       4       1       2       5       1

Ответ: записать число десятков.

Современные программы по математике для начальной школы содержат множество заданий, которые можно использовать в качестве учебного материала для пропедевтики функциональной линии. Задача учителя состоит в грамотной организации работы учащихся с подобными заданиями, ведь усвоение основ функциональной зависимости в период начального обучения математике может оказать позитивное влияние на формирование информационной, алгоритмической культуры младшей школьников, способствующей овладению функционально-графической грамотности учащихся в средней школе.